设 $x,y,z>0$，且 $x+y+z=1$，求证：$$\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据已知，有\begin{eqnarray*}\begin{split} \sum_{cyc}\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}&=\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x^2y}{x+z}}\\
&=\sum_{cyc}\left[\sqrt{\dfrac{x+y}2}\cdot\sqrt{\dfrac{2x^2y}{(x+y)(x+z)}}\right]\\
&\leqslant \sqrt{\sum_{cyc}\dfrac{2x^2y}{(x+y)(x+z)}},\end{split} \end{eqnarray*}接下来只要证明$$\sum_{cyc}\dfrac{x^2y}{(x+y)(x+z)}\leqslant \dfrac 14(x+y+z),$$即$$\sum_{cyc}\left(x^3y+y^3x-2x^2y^2\right)\geqslant 0,$$因此原命题得证．
&=\sum_{cyc}\left[\sqrt{\dfrac{x+y}2}\cdot\sqrt{\dfrac{2x^2y}{(x+y)(x+z)}}\right]\\
&\leqslant \sqrt{\sum_{cyc}\dfrac{2x^2y}{(x+y)(x+z)}},\end{split} \end{eqnarray*}接下来只要证明$$\sum_{cyc}\dfrac{x^2y}{(x+y)(x+z)}\leqslant \dfrac 14(x+y+z),$$即$$\sum_{cyc}\left(x^3y+y^3x-2x^2y^2\right)\geqslant 0,$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
