已知 $a_1,a_2,\cdots ,a_n>0$ 且 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$，求证：$$\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac{1}{1+a_1+a_2}+\cdots +\dfrac{1}{1+a_1+a_2+\cdots +a_n}<\sqrt{\dfrac 12\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}\right)}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到不等式右边的形式，用柯西不等式放缩\[\begin{split} &\left(\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac{1}{1+a_1+a_2}+\cdots +\dfrac{1}{1+a_1+a_2+\cdots +a_n}\right)^2\\ \leqslant &\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots +\dfrac{1}{a_n}\right)\left[\dfrac{a_1}{(1+a_1)^2}+\dfrac{a_2}{(1+a_1+a_2)^2}+\cdots +\dfrac{a_n}{(1+a_1+a_2+\cdots +a_n)^2}\right],\end{split}\]因此只需要证明$$\dfrac{a_1}{(1+a_1)^2}+\dfrac{a_2}{(1+a_1+a_2)^2}+\cdots +\dfrac{a_n}{(1+a_1+a_2+\cdots +a_n)^2}<\dfrac 12.$$而\[\begin{split} \dfrac{a_k}{(1+a_1+a_2+\cdots +a_k)^2}&<\dfrac{a_k}{(1+a_1+a_2+\cdots +a_{k-1})(1+a_1+a_2+\cdots +a_k)}\\ &=\dfrac{1}{1+a_1+a_2+\cdots +a_{k-1}}-\dfrac{1}{1+a_1+a_2+\cdots +a_k},\end{split}\]其中 $k=1,2,\cdots ,n$．将各式累加即得，因此原不等式得证．
答案
解析
备注
