已知 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\leqslant \dfrac{1}{abc}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于\[\begin{split}\sum_{cyc}\dfrac{abc}{a^3+b^3+abc}&=\dfrac{abc}{(a+b)(a^2-ab+b^2)+abc}\\ &\leqslant \sum_{cyc}\dfrac{abc}{(a+b)\cdot ab+abc}\\&=\sum_{cyc}\dfrac{c}{a+b+c}\\ &=1,\end{split}\]所以原不等式得证．
答案
解析
备注
