设正数 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$\dfrac{xy}z+\dfrac{yz}x+\dfrac{zx}y\geqslant \sqrt 3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到欲证的不等式左边为一次式，尝试先平方．\[\begin{split} \left(\dfrac{xy}z+\dfrac{yz}x+\dfrac{zx}y\right)^2&=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{z^2x^2}{y^2}+2(x^2+y^2+z^2)\\& \geqslant \dfrac{xy}z\cdot \dfrac{yz}x+\dfrac{yz}x\cdot \dfrac{zx}y+\dfrac{zx}y\cdot \dfrac{xy}z+2(x^2+y^2+z^2)\\ &=3(x^2+y^2+z^2)=3,\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
