已知 $a,b>0$，求证：$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}\geqslant \dfrac{1}{1+ab}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据柯西不等式，有$$\dfrac{1}{(1+ab)(a+b)}\leqslant \dfrac{1}{({\sqrt a}+b\sqrt{a})^2}=\dfrac{1}{a(1+b)^2},$$因此$$\dfrac{1}{(1+b)^2}\geqslant \dfrac{a}{a+b}\cdot \dfrac{1}{1+ab},$$同理，有$$\dfrac{1}{(1+a)^2}\geqslant \dfrac{b}{a+b}\cdot \dfrac{1}{1+ab},$$两式相加即得，取等条件为 $a=b=1$．
答案
解析
备注
