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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20965 5c6f59f8210b28015052737b 高中 解答题 自招竞赛 如果 ${{12}^{12}}$ 是 ${{6}^{8}}$，${{8}^{8}}$ 和 $k$ 的最小公倍数，那么 $k$ 有多少种可能的值？ 2022-04-17 20:34:04
20964 5c6f5a04210b280151d74957 高中 解答题 自招竞赛 已知整数 $x$，$y$ 满足 $x\leqslant 2y\leqslant 60$ 且 $y\leqslant 2x\leqslant 60$，求有序数组 $\left( x, y \right)$ 的个数． 2022-04-17 20:34:04
20958 5c6f5a6e210b280151d74973 高中 解答题 自招竞赛 八个半径为100的球体被放到一个水平的面上，每个球都与其相邻的两个球体相切，而它们的球心是一个正八边形的八个顶点．现将第九个球放在这个水平面上，使它与已放好的八个球均恰好相切．设第九个球的半径为 $a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 均为正整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除，求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:31:04
20957 5c6f5a83210b280151d7497f 高中 解答题 自招竞赛 设 $\vartriangle ABC$ 为等边三角形，$D$，$E$，$F$ 分别为边 $CB$，$CA$，$AB$ 的中点．点 $P$，$Q$，$R$ 分别在 $DE$，$EF$ 和 $FD$ 上，点 $P$，$Q$，$R$ 分别在 $CQ$，$AR$，$BP$ 上．若 $\frac{{{S}_{\vartriangle ABC}}}{{{S}_{\vartriangle PQR}}}=a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 为整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除．求 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$． 2022-04-17 20:31:04
20952 5c6f5a60210b280151d7496e 高中 解答题 自招竞赛 两位数学家每天早上都会抽空出来喝咖啡，他们每天都在早上9点至10点中的任一时刻只身到达自助餐厅，并呆上整整 $m$ 分钟．两人在自助餐厅里碰面的概率是 $40%$，令 $m=a-b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 为正整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:29:04
20949 5c6f62ce210b280151d749b3 高中 解答题 自招竞赛 求出所有使 ${{n}^{2}}-19n+99$ 的值为完全平方数的正整数 $n$ 的和． 2022-04-17 20:28:04
20947 5c6f62e4210b280151d749bd 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $x$，设 $S\left( x \right)$ 为 $x$ 的所有数位上的数字之和，令 $T\left( x \right)$ 为 $\left| S\left( x+2 \right)-S\left( x \right) \right|$．例如，$T\left( 199 \right)=\left| S\left( 201 \right)-S\left( 199 \right) \right|=\left| 3-19 \right|=16$．问 $T\left( x \right)$ 有多少个不超过1999的值？ 2022-04-17 20:27:04
20945 5c6f62f4210b2801505273cc 高中 解答题 自招竞赛 有1000个开关，每个开关有 $A$，$B$，$C$，$D$ 4个位置，当每个开关位置改变时只可能从 $A$ 到 $B$，从 $B$ 到 $C$，从 $C$ 到 $D$ 或从 $D$ 到 $A$．开始时，每个开关都在位置 $A$ 上，这1000个开关上都用不同的整数 ${{2}^{x}}{{3}^{y}}{{5}^{z}}$ 标号，其中 $x$，$y$，$z$ 在 $0\tilde{ }9$ 中取值．
在有1000个步骤的操作中，到第 $i$ 个步骤时，第 $i$ 个开关位置前进一位，其他标号能整除第 $i$ 个开关标号的开关也前进一位．问当这1000个步骤执行完时，有多少个开关处在位置 $A$ 上？		 2022-04-17 20:26:04
20939 5c6f8ab3210b280151d749ff 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $n$，使得不论将 ${{10}^{n}}$ 如何表示为两个正整数的乘积，这两个正整数中，至少有一个正整数包含数字0． 2022-04-17 20:24:04
20933 5c6f8ae4210b280151d74a1c 高中 解答题 自招竞赛 一个直立圆锥形容器高12英寸，底面圆半径为5英寸．当该容器顶朝下，底面水平时，密封在里面的液体高9英寸．当容器顶朝上，底面水平时，液体高 $m-n\sqrt[3]{p}$ 英寸，其中 $m$，$n$，$p$ 均为正整数且 $p$ 不能被任何素数的立方整除．求 $m+n+p$． 2022-04-17 20:20:04
20930 5c6f8b03210b280150527421 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…，${{x}_{100}}$ 满足 $k$ 在1到 $100$ 的范围内变化时，${{x}_{k}}$ 总比其余99个数之和小 $k$．已知 ${{x}_{50}}=\frac{m}{n}$，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:18:04
20921 5c78e91d210b284290fc2652 高中 解答题 自招竞赛 有6个正奇约数和12个正偶约数的最小正整数是多少？ 2022-04-17 20:13:04
20914 5c78e942210b28428f14cf91 高中 解答题 自招竞赛 等腰梯形 $ABCD$ 的每个顶点的横纵坐标均为整数，点 $A$ 的坐标为 $\left( 20 ,100 \right)$，点 $D$ 的坐标为 $\left( 21 ,107 \right)$．这个梯形没有任何一条边平行于坐标轴，$AB$ 和 $CD$ 是两底．设边 $AB$ 的斜率的所有可能值之和的绝对值为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:09:04
20913 5c78e949210b28428f14cf96 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，点 $A$，$B$，$C$ 在以点 $O$ 为球心，20为半径的球面上．已知 $AB=13$，$BC=14$，$CA=15$，点 $O$ 到三角形 $ABC$ 所在平面的距离为 $\frac{m\sqrt{n}}{k}$，其中 $m$，$n$，$k$ 是正整数，$m$ 与 $k$ 互素，$n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n+k$． 2022-04-17 20:09:04
20911 5c78e954210b28428f14cfa1 高中 解答题 自招竞赛 每个正整数 $k$ 有唯一的“阶乘表示法”表示为 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{m}} \right)$，这些 ${{f}_{i}}$ 满足
$k=1!\cdot {{f}_{1}}+2!\cdot {{f}_{2}}+\cdots +m!\cdot {{f}_{m}}$，
且每个 ${{f}_{i}}$ 都是整数，$0\leqslant {{f}_{i}}\leqslant i$，$0\leqslant {{f}_{m}}$．已知 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{j}} \right)$ 是
$16!-32!+48!-64!+\cdots +1968!-1984!+2000!$
的阶乘表示法的表示方式．求 ${{f}_{1}}-{{f}_{2}}+{{f}_{3}}-{{f}_{4}}+\cdots +{{\left( -1 \right)}^{j-1}}{{f}_{j}}$．		 2022-04-17 20:08:04
20910 5c6f9625210b280150527457 高中 解答题 自招竞赛 求所有可以被其十位数字与个位数字整除的两位数之和． 2022-04-17 20:08:04
20907 5c6f9644210b280151d74a6c 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$\angle A=60{}^\circ $，$\angle B=45{}^\circ $．$\angle A$ 的角平分线交 $BC$ 于点 $T$，且 $AT=24$．$\vartriangle ABC$ 的面积可以写成 $a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，且 $c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:06:04
20904 5c6f9673210b280150527464 高中 解答题 自招竞赛 如果把一个十进制数 $N$ 写成七进制，再用十进制读出来，其结果是 $N$ 的2倍，就把 $N$ 叫做7-10双倍数．例如，51是7-10双倍数，因为它写成七进制时为102，在十进制下读出来的结果恰为 $51$ 的2倍．求最大的7-10双倍数． 2022-04-17 20:05:04
20889 5c78f245210b284290fc2692 高中 解答题 自招竞赛 1001的正整数倍数中，有多少个数可以表示为 ${{10}^{j}}-{{10}^{i}}$ 的形式，其中 $i$，$j$ 都是整数，且 $0\leqslant i\leqslant j\leqslant 99$． 2022-04-17 20:59:03
20884 5c78f276210b284290fc26a3 高中 解答题 自招竞赛 设 $EFGH$，$EFDC$ 和 $EHBC$ 为正方体的三个相邻的正方形面，其中 $EC=EI=EJ=EK=2$．现从此正方体钻出一个包含边 $IJ$，$JK$ 及 $KI$，且壁面平行于 $AE$ 的通道，设正方体去掉通道后剩余的部分为 $S$．设 $S$ 连同通道的壁面在内的表面积为 $m+n\sqrt{p}$，其中 $m$，$n$，$p$ 都是正整数，且 $p$ 不能被任何素数的平方所整除，求 $m+n+p$． 2022-04-17 20:56:03
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