设 $EFGH$，$EFDC$ 和 $EHBC$ 为正方体的三个相邻的正方形面，其中 $EC=EI=EJ=EK=2$．现从此正方体钻出一个包含边 $IJ$，$JK$ 及 $KI$，且壁面平行于 $AE$ 的通道，设正方体去掉通道后剩余的部分为 $S$．设 $S$ 连同通道的壁面在内的表面积为 $m+n\sqrt{p}$，其中 $m$，$n$，$p$ 都是正整数，且 $p$ 不能被任何素数的平方所整除，求 $m+n+p$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
417
【解析】
如图所示，设各点坐标为 $A=\left( 0 ,0 ,0 \right)$，$B=\left( 8, 0, 0 \right)$，$C=\left( 8, 8 ,0 \right)$，$D=\left( 0 ,8, 0 \right)$，$I=\left( 6, 8 ,8 \right)$，$J=\left( 8, 6, 8 \right)$ 和 $k=\left( 8 ,8 ,6 \right)$．经过 $I$ 且平行于 $AE$ 的直线可以写为 $\left(x, y, z \right)=\left( 6-t ,8-t, 8-t \right)$．故当 $x=0$ 时，它与正方体再次相交于点 $L=\left(0 ,2, 2 \right)$．由于对称性，过 $J$，$K$ 与 $AE$ 平行的直线分别与正方体交于点 $M=\left( 2, 0 ,2 \right)$ 与 $N=\left( 2, 2, 0 \right)$．易知过 $I$，$J$，$L$ 的平面方程为 $2z=2+x+y$，据此平面与 $z$ 轴交于点 $O=\left( 0 ,0 ,1 \right)$．同理，这条坑道与 $x$ 轴交 $Q=\left(1 ,0 ,0 \right)$ 与 $y$ 轴交于 $P=\left( 0, 1, 0 \right)$．如图所示，坑道的一头为三角形 $IJK$，另一头为空间六边形 $LOMQNP$．$S$ 的表面包含9个多边形，三种样式，每种三个，易知五边形 $IFGHJ$ 与六边形 $CDPNQB$ 的面积均为 ${{8}^{2}}-2$．为了求出五边形 $ILOMJ$ 的面积，首先注意到 $IJ=2\sqrt{2}$，$IL=JM=6\sqrt{3}$，$LO=OM=\sqrt{5}$，故矩形 $ILMJ$ 面积是 $12\sqrt{6}$，剩下三角形 $LOM$ 面积为 $\sqrt{6}$，总面积为 $3\left( 62+62+13\sqrt{6} \right)=372+39\sqrt{6}$，故 $m+n+p=417$．
答案
解析
备注
