1001的正整数倍数中，有多少个数可以表示为 ${{10}^{j}}-{{10}^{i}}$ 的形式，其中 $i$，$j$ 都是整数，且 $0\leqslant i\leqslant j\leqslant 99$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
784
【解析】
由于 ${{10}^{j}}-{{10}^{i}}={{10}^{i}}\left( {{10}^{j-1}}-1 \right)$，且 $1001=7\cdot11\cdot 13$ 与 ${{10}^{i}}$ 互素，由此需要找到 $i$，$j$，使得 ${{10}^{j-i}}-1$ 被 $7,11,13$ 整除．注意到 ${{10}^{6}}$ 是最小的模 $7$ 或 $13$ 余 $1$ 的 $10$ 的正整数次幂，${{10}^{2}}$ 是最小的模 $11$ 余 $1$ 的 $10$ 的正整数次幂．故 ${{10}^{i}}\left({{10}^{j-i}}-1 \right)$ 能被 $1001$ 整除，当且仅当 $j-i=6n$ 对某个正整数 $n$ 成立，即只需计算下面不定方程的正整数解的个数
$i+6n=j$，$j\leqslant 99$，$i\geqslant 0$，$j>0$．
对每个 $n=1 ,2 ,3 ,\cdots, 16$，有 $100-6n$ 组合适的 $i\left( j \right)$ 值，故解的总数为
$94+88+82+\cdots+4=784$．
$i+6n=j$，$j\leqslant 99$，$i\geqslant 0$，$j>0$．
对每个 $n=1 ,2 ,3 ,\cdots, 16$，有 $100-6n$ 组合适的 $i\left( j \right)$ 值，故解的总数为
$94+88+82+\cdots+4=784$．
答案
解析
备注
