数列 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…，${{x}_{100}}$ 满足 $k$ 在1到 $100$ 的范围内变化时，${{x}_{k}}$ 总比其余99个数之和小 $k$．已知 ${{x}_{50}}=\frac{m}{n}$，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
173
【解析】
令 $S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+\cdots +{{x}_{100}}$，则 ${{x}_{k}}=\left(S-{{x}_{k}} \right)-k$ 对从1到100之间的一切整数 $k$ 成立，则对所有这样的 $k$，有 $k+{{2}_{xk}}=S$．
当 $k=1$，2，3，…，100时，将这些方程组相加得 $\frac{100\cdot101}{2}+2S=100S$．
从而 $S=\frac{2525}{49}$，则有 ${{x}_{50}}=\frac{S-50}{2}=\frac{75}{98}$，故 $m+n=173$．
当 $k=1$，2，3，…，100时，将这些方程组相加得 $\frac{100\cdot101}{2}+2S=100S$．
从而 $S=\frac{2525}{49}$，则有 ${{x}_{50}}=\frac{S-50}{2}=\frac{75}{98}$，故 $m+n=173$．
答案
解析
备注
