有6个正奇约数和12个正偶约数的最小正整数是多少？
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
180
【解析】
设这个数为 $n={{2}^{k}}p_{1}^{{{\alpha }_{1}}}p_{2}^{{{\alpha }_{2}}}\cdots p_{m}^{{{\alpha }_{m}}}$，其中 ${{p}_{1}}$，${{p}_{2}}$，…，${{p}_{m}}$ 是两两不同的奇素数，${{\alpha }_{1}}$，${{\alpha }_{2}}$，…，${{\alpha }_{m}}$ 是正整数．由条件得 $\left( {{\alpha }_{1}}+1 \right)\left( {{\alpha }_{2}}+1\right)\cdots \left( {{\alpha }_{m}}+1 \right)=6$ 及 $k\left( {{\alpha}_{1}}+1 \right)$．$\left( {{\alpha }_{2}}+1 \right)\cdots \left( {{\alpha }_{m}}+1\right)=12$，因此 $k=2$．由 $\left( {{\alpha }_{1}}+1 \right)\left( {{\alpha }_{2}}+1\right)\cdots \left( {{\alpha }_{m}}+1 \right)=6$ 知 $m\leqslant 2$．若 $m=1$，则 ${{\alpha}_{1}}=5$，此时 $n$ 的最小值为 ${{2}^{2}}\cdot {{3}^{5}}=972$；若 $m=2$，则 ${{\alpha}_{1}}$，${{\alpha }_{2}}$ 中一个为1，一个为2，此时 $n$ 的最小值为 ${{2}^{2}}\cdot {{3}^{2}}\cdot {{5}^{1}}=180$．综上可得所求最小数为180．
答案
解析
备注
