已知整数 $x$，$y$ 满足 $x\leqslant 2y\leqslant 60$ 且 $y\leqslant 2x\leqslant 60$，求有序数组 $\left( x, y \right)$ 的个数．
【难度】
【出处】
1998年第16届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
480
【解析】
坐标值为整数的点叫做格点，题设中的格点处于正方形区域
$A=\left\{\left( x,y \right)|1\leqslant x\leqslant 30 1\leqslant y\leqslant 30 \right\}$，不包含在其中的格点是使 $2y<x$ 或 $2x<y$ 成立的点．对于正数 $x$，$y$，这些条件是相互独立的．在正方形区域 $A$ 内，不等式 $2y<x$ 对于 $y\geqslant 15$ 不能成立．对于1至14之间的每一个整数 $y$，有 $30-2y$ 个格点满足 $2y<x$，也就是那些满足 $2y+1\leqslant x\leqslant 30$ 的格点，满足 $2x<y$ 的点的个数与满足 $2y<x$ 的点的个数相同．所以有序数组 $\left( x ,y \right)$ 的个数为 $30\times30-2\times \left( 2+4+\cdots +28 \right)=480$．
$A=\left\{\left( x,y \right)|1\leqslant x\leqslant 30 1\leqslant y\leqslant 30 \right\}$，不包含在其中的格点是使 $2y<x$ 或 $2x<y$ 成立的点．对于正数 $x$，$y$，这些条件是相互独立的．在正方形区域 $A$ 内，不等式 $2y<x$ 对于 $y\geqslant 15$ 不能成立．对于1至14之间的每一个整数 $y$，有 $30-2y$ 个格点满足 $2y<x$，也就是那些满足 $2y+1\leqslant x\leqslant 30$ 的格点，满足 $2x<y$ 的点的个数与满足 $2y<x$ 的点的个数相同．所以有序数组 $\left( x ,y \right)$ 的个数为 $30\times30-2\times \left( 2+4+\cdots +28 \right)=480$．
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