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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15737 5909820539f91d0008f0501f 高中 解答题 高中习题 设 $a,b$ 都是正整数，求 $\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值． 2022-04-17 19:28:16
15734 590986e839f91d000a7e455f 高中 解答题 自招竞赛 $a\cdot b \cdot c$ 个体积为 $1$ 的单位正方体拼成一个尺寸为 $a\times b \times c$ 的长方体，每个单位正方体的表面都涂上了红色、黄色或者绿色当中的某一种颜色．和" $b \times c$ 面"平行（尺寸为 $1 \times b \times c$）的每一个" $a$ 层"都恰好有 $9$ 个红色单位正方体、$12$ 个绿色单位正方体以及若干个黄色单位正方体；和" $a \times c$ 面"平行（尺寸为 $a \times 1 \times c$）的每一个" $b$ 层"都恰好有 $25$ 个黄色单位正方体、$20$ 个绿色单位正方体以及若干个红色单位正方体．求该长方体体积的最小值． 2022-04-17 19:26:16
15724 59098f1a38b6b400091effd2 高中 解答题 高中习题 求证：存在无穷多个奇数 $m$，使得 $8^m+9m^2$ 为合数． 2022-04-17 19:22:16
15716 590a92266cddca0008610d68 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $2^x-5^y\cdot 7^z=1$ 的所有非负整数解 $(x,y,z)$． 2022-04-17 19:18:16
15710 590aa7a36cddca000a081964 高中 解答题 高中习题 求所有的正整数 $x,y$，使得 $x^2+3y$ 和 $y^2+3x$ 都是完全平方数． 2022-04-17 19:14:16
15709 590abf186cddca00078f3907 高中 解答题 自招竞赛 已知 $p$ 是一个不为 $2$ 的质数，求证：将 $\dfrac 2p$ 拆分为两个不同的正整数的倒数之和的方式存在且唯一． 2022-04-17 19:13:16
15708 590abf316cddca000a08197a 高中 解答题 自招竞赛 平面直角坐标系内，若一个圆的圆心的横坐标和纵坐标均为无理数，求证：该圆上不可能存在 $3$ 个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）． 2022-04-17 19:13:16
15693 590bd0816cddca00078f3a60 高中 解答题 自招竞赛 求出所有实数 $x$，使得 $\dfrac{x^2+4x-1}{7x^2-6x-5}$ 与 $\dfrac{1-x}{1+x}$ 同时为整数． 2022-04-17 19:04:16
15684 590bf6abd42ca700093fc591 高中 解答题 自招竞赛 求证： 2022-04-17 19:59:15
15682 590c14aad42ca7000a7e7e47 高中 解答题 自招竞赛 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 2022-04-17 19:58:15
15681 590c1bedd42ca7000a7e7e75 高中 解答题 自招竞赛 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $14$ 项和 $a_1+a_2+\cdots+a_{14}=77$，已知 $a_1$，$a_{11}$ 为正整数，求 $a_{18}$ 的值． 2022-04-17 19:58:15
15678 590c250f857b4200092b065c 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\displaystyle \dfrac{{\prod\limits_{k = 1}^{2m} {\left( {1 - {x^k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^{2n} {\left( {1 - {x^k}} \right)} }}{{\prod\limits_{k = 1}^m {\left( {1 - {x^k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 - {x^k}} \right) \cdot \prod\limits_{k = 1}^{m + n} {\left( {1 - {x^k}} \right)} } }}$ 为关于 $x$ 的整系数多项式． 2022-04-17 19:56:15
15629 59127911e020e7000a798aef 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 都是有理数，$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ 也是有理数，证明：$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 都是有理数． 2022-04-17 19:27:15
15623 59127beee020e70007fbed22 高中 解答题 自招竞赛 $12$ 个人玩一个游戏，游戏开始后每个人被随机戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子，每个人可以看到其余 $11$ 个人的帽子的颜色，但不能看到自己帽子的颜色，游戏开始后 $12$ 人不能再交流，并被要求猜出自己帽子的颜色．请为这 $12$ 个人在游戏前商定一个方案，使得他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率尽可能地大，并求出这种方案下同时猜对的概率． 2022-04-17 19:24:15
15618 59128a77e020e7000a798ba7 高中 解答题 自招竞赛 是否存在实数 $x$，使 $\tan x + \sqrt 3 $ 与 $\cot x + \sqrt 3 $ 均为有理数？ 2022-04-17 19:20:15
15610 5912af56e020e700094b0cf5 高中 解答题 自招竞赛 求证：当 $p,q$ 都为奇数时，若方程 $x^2-2px+2q=0$ 有实数根，则该方程的根必为无理数． 2022-04-17 19:15:15
15593 5912becbe020e7000a798cbb 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A=\{x\mid x=n!+n,n\in\mathbb{N}^*\}$，$B$ 是 $A$ 在 ${{\mathbb{N}}^ * }$ 上的补集． 2022-04-17 19:06:15
15591 59140798e020e700094b0ddf 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 为正整数，求证：$\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数． 2022-04-17 19:05:15
15588 59277c8374a309000813f651 高中 解答题 高考真题 已知集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,2n\}$（$n\in {\mathbb N}^+$）．对于 $A$ 的一个子集 $S$，若存在不大于 $n$ 的正整数 $m$，使得对于 $S$ 中的任意一对元素 $s_1$，$s_2$，都有 $|s_1-s_2|\ne m$，则称 $S$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 19:02:15
15535 596334b93cafba0007613200 高中 解答题 自招竞赛 设 $A=x^{4}+2x^{3}-x^{2}-5x+34$，求使 $A$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值． 2022-04-17 19:33:14
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