设 $A=x^{4}+2x^{3}-x^{2}-5x+34$，求使 $A$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$11$
【解析】
因为$$A=(x^{2}+x-1)^{2}-3(x-11),$$所以当 $x=11$ 时，$A=131^{2}$ 是完全平方数．下证没有其它整数 $x$ 满足要求．
情形一 当 $x>11$ 时，有$$A<(x^{2}+x-1)^{2},$$又\[A-(x^{2}+x-2)^{2}=2x^{2}-x+30>0,\]所以$$A>(x^{2}+x-2)^{2},$$从而\[(x^{2}+x-2)^{2}<A<(x^{2}+x-1)^{2}.\]因为 $x\in\mathbb Z$，所以此时 $A$ 不是完全平方数．
情形二 当 $x<11$ 时，有$$A>(x^{2}+x-1)^{2},$$令 $A=y^{2}$，$y\in\mathbb Z$，则 $|y|>|x^{2}+x-1|$，即$$|y|-1\geqslant |x^{2}+x-1|,$$所以\[y^{2}-2|y|+1\geqslant (x^{2}+x-1)^{2},\]即\[-3(x-11)-2|x^{2}+x-1|+1\geqslant 0.\]解此不等式，得 $x$ 的整数值为$$\pm 3,\pm 2,\pm 1,0,-4,-5,$$但它们对应的 $A$ 均不是完全平方数．
综上所述，使 $A$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值为 $11$．
综上所述，使 $A$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值为 $11$．
答案
解析
备注
