设 $a,b$ 都是正整数，求 $\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$7$
【解析】
所求的最小值为 $7$．证明如下．
首先，由于 $\left|12^a-5^b\right|\equiv 1\pmod 2$，于是 $\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值不可能是 $0,2,4,6$．
进而，由于 $3\mid 12^a$ 而 $3 \nmid 5^ b$，于是 $\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值不可能是 $3$；类似的，$5\nmid 12^a$ 而 $5 \mid 5^ b$，于是 $\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值不可能是 $5$．
接下来，若 $12^a-5^b=1$，那么 $12^a-1=5^b$，而 $11\mid \left(12^a-1\right)$ 且 $11\nmid 5^b$，矛盾．因此 $12^a-5^b\ne 1$．
最后，若 $12^a-5^b=-1$，那么 $12^a=5^b-1$，则有$$12^a\equiv 4\pmod 5,$$即 $2^{a-2}\equiv 1\pmod 5$，从而 $a=4n+2$（$n\in\mathbb N$），于是$$144^{2n+1}+1=5^b,$$而 $145\mid \left(144^{2n+1}+1\right)$ 且 $145\nmid 5^b$，矛盾．因此 $12^a-5^b\ne -1$．
综上所述，$\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值为 $7$．
首先，由于 $\left|12^a-5^b\right|\equiv 1\pmod 2$，于是 $\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值不可能是 $0,2,4,6$．
进而，由于 $3\mid 12^a$ 而 $3 \nmid 5^ b$，于是 $\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值不可能是 $3$；类似的，$5\nmid 12^a$ 而 $5 \mid 5^ b$，于是 $\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值不可能是 $5$．
接下来，若 $12^a-5^b=1$，那么 $12^a-1=5^b$，而 $11\mid \left(12^a-1\right)$ 且 $11\nmid 5^b$，矛盾．因此 $12^a-5^b\ne 1$．
最后，若 $12^a-5^b=-1$，那么 $12^a=5^b-1$，则有$$12^a\equiv 4\pmod 5,$$即 $2^{a-2}\equiv 1\pmod 5$，从而 $a=4n+2$（$n\in\mathbb N$），于是$$144^{2n+1}+1=5^b,$$而 $145\mid \left(144^{2n+1}+1\right)$ 且 $145\nmid 5^b$，矛盾．因此 $12^a-5^b\ne -1$．
综上所述，$\left|12^a-5^b\right|$ 的最小值为 $7$．
答案
解析
备注
