题目 已知 $A=\{x\mid x=n!+n,n\in\mathbb{N}^*\}$，$B$ 是 $A$ 在 ${{\mathbb{N}}^ * }$ 上的补集． 问题1 求证：无法从 $B$ 中取出无限个数组成等差数列； 答案1 略 解析1 若能从 $B$ 中取出无限个数组成等差数列 $\left\{ {{a_m}} \right\}$，并设公差为 $d$．<br/>则 ${a_m} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d$，而 $n > d$ 时，$$n! + n,\left( {n + 1} \right)! + \left( {n + 1} \right),\cdots$$被 $d$ 除，其余数与$$n,\left( {n + 1} \right),\left( {n + 2} \right),\cdots,$$被 $d$ 除的余数相同．<br/>而这些余数，应该是逐一递增的，取得 $d - 1$ 后，又以周期性出现，所以存在 ${n_0}$，使 ${n_0}! + {n_0}$ 被 $d$ 除与 ${a_m}$ 被 $d$ 除的余数相同．这就说明：${n_0}! + {n_0}$ 是等差数列 $\left\{ {{a_m}} \right\}$ 中的项．而 ${n_0}! + {n_0} \in A$，故 ${n_0}! + {n_0} \notin B$，于是矛盾就产生了，故假设不成立，要证明的结论成立． 备注1 问题2 能否从 $B$ 中取出无限个数组成等比数列？并说明理由． 答案2 能从 $B$ 中取出无限个数组成等比数列，例如 ${b_m} = {5^m}$ 解析2 能从 $B$ 中取出无限个数组成等比数列，例如 ${b_m} = {5^m}$．<br/>由于 $n! + n = n\left[ {\left( {n - 1} \right)! + 1} \right] $ 并且当 $n > 5$ 时，$5$ 不能整除 $\left( {n - 1} \right)! + 1$，故 ${5^m} \notin A$，因此，${5^m} \in B$，故数列 $\left\{ {{b_m}} \right\}$ 是从 $B$ 中取出无限个数组成的等比数列． 备注2