$12$ 个人玩一个游戏，游戏开始后每个人被随机戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子，每个人可以看到其余 $11$ 个人的帽子的颜色，但不能看到自己帽子的颜色，游戏开始后 $12$ 人不能再交流，并被要求猜出自己帽子的颜色．请为这 $12$ 个人在游戏前商定一个方案，使得他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率尽可能地大，并求出这种方案下同时猜对的概率．
【难度】
【出处】
2010年清华大学自主招生特色测试数学试题
【标注】
【答案】
$\dfrac 14$
【解析】
记红、黄、蓝、绿对应的分数分别为 $0,1,2,3$，记 $12$ 个人的得分分别为$$a_1,a_2,\cdots,a_{12},a_i\in\{0,1,2,3\},$$并记$$S=a_1+a_2+\cdots+a_{12},$$则 $a_i$ 看到的总分为 $S-a_i$，而$$S-a_i\equiv [(4-a_i)+S]\pmod 4.$$于是当 $a_i$ 均猜自己的得分为 $-(S-a_i)\pmod 4$ 时，他们一定同时猜对（当 $S\equiv 0\pmod 4$ 时）或同时猜错（当 $S\equiv 1\pmod 4$，$S\equiv 2\pmod 4$ 或 $S\equiv 3\pmod 4$ 时）．于是他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率为 $\dfrac 14$．
因为每个人每次猜对自己头上帽子颜色的概率均为 $\dfrac 14$，所以他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率不大于 $\dfrac 14$．
综上，上述方案是最佳的，此时猜对的概率为 $\dfrac 14$．
因为每个人每次猜对自己头上帽子颜色的概率均为 $\dfrac 14$，所以他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率不大于 $\dfrac 14$．
综上，上述方案是最佳的，此时猜对的概率为 $\dfrac 14$．
答案
解析
备注
