已知 $p$ 是一个不为 $2$ 的质数，求证：将 $\dfrac 2p$ 拆分为两个不同的正整数的倒数之和的方式存在且唯一．
【难度】
【出处】
2015年上海交通大学自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\dfrac 2p=\dfrac 1x+\dfrac 1y$，其中 $x,y$ 为两个不同的正整数，则\[(2x-p)(2y-p)=p^2.\]因为 $x\ne y$，不妨设 $x<y$，则有\begin{align*}
2x-p&=1,\\
2y-p&=p^2,
\end{align*}解得\begin{align*}
x&=\dfrac {p+1}2,\\
y&=\dfrac {p^2+p}2.
\end{align*}证毕．
2x-p&=1,\\
2y-p&=p^2,
\end{align*}解得\begin{align*}
x&=\dfrac {p+1}2,\\
y&=\dfrac {p^2+p}2.
\end{align*}证毕．
答案
解析
备注
