求证：当 $p,q$ 都为奇数时，若方程 $x^2-2px+2q=0$ 有实数根，则该方程的根必为无理数．
【难度】
【出处】
2009年清华大学保送生试题（理科）
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．假设曲线 $y={{x}^{2}}-2px+2q$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标为有理数 $\dfrac{n}{m}$（其中 $n$ 与 $m$ 互质），则$${{\left( \frac{n}{m} \right)}^{2}}-2p\cdot \frac{n}{m}+2q=0,$$即$$ {{n}^{2}}=2m\left( pn-qm \right).$$由于右边是偶数，所以 $n$ 也为偶数，设为 $2x$，则$$4{{x}^{2}}=2m\left( 2xp-mq \right),$$即$$2{{x}^{2}}=m\left( 2xp-mq \right),$$情形一 若 $m$ 是奇数，则 $2xp-mq$ 是奇数，因此 $m\left( 2xp-mq \right)$ 是奇数，矛盾；
情形二 若 $m$ 是偶数，那么 $m,n$ 均为偶数，与 $n$ 与 $m$ 互质矛盾．
综上，原命题成立．
综上，原命题成立．
答案
解析
备注
