求所有的正整数 $x,y$，使得 $x^2+3y$ 和 $y^2+3x$ 都是完全平方数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(x,y)$ 为 $(1,1),(11,16),(16,11)$
【解析】
当 $x=y$ 时，有 $x^2+3x$ 是完全平方数，而$$(x+1)^2\leqslant x^2+3x<(x+2)^2,$$当 $x=1$ 时左边不等式取到等号，此时 $x^2+3x$ 是完全平方数，$(x,y)=(1,1)$．
当 $x\ne y$ 时，不妨设 $y<x$，则$$x^2<x^2+3y\leqslant x^2+3x<(x+2)^2,$$于是$$x^2+3y=(x+1)^2,$$于是 $3y-2x=1$，进而 $x=3k+1$，$y=2k+1$，其中 $k\in\mathbb N$，从而$$y^2+3x=4k^2+13k+4\in \left((2k+2)^2,(2k+4)^2\right),$$于是$$4k^2+13k+4=(2k+3)^2,$$解得 $k=5$，因此 $(x,y)$ 为 $(16,11)$ 或 $(11,16)$．
综上知，$(x,y)$ 为 $(1,1),(11,16),(16,11)$．
当 $x\ne y$ 时，不妨设 $y<x$，则$$x^2<x^2+3y\leqslant x^2+3x<(x+2)^2,$$于是$$x^2+3y=(x+1)^2,$$于是 $3y-2x=1$，进而 $x=3k+1$，$y=2k+1$，其中 $k\in\mathbb N$，从而$$y^2+3x=4k^2+13k+4\in \left((2k+2)^2,(2k+4)^2\right),$$于是$$4k^2+13k+4=(2k+3)^2,$$解得 $k=5$，因此 $(x,y)$ 为 $(16,11)$ 或 $(11,16)$．
综上知，$(x,y)$ 为 $(1,1),(11,16),(16,11)$．
答案
解析
备注
