设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $14$ 项和 $a_1+a_2+\cdots+a_{14}=77$，已知 $a_1$，$a_{11}$ 为正整数，求 $a_{18}$ 的值．
【难度】
【出处】
2013年北京大学暑期体验营数学试题
【标注】
【答案】
$-5$
【解析】
根据题意，有$$\sum_{k=1}^{14}a_k=7(a_1+a_{14})=77,$$于是$$a_1+a_{14}=11,$$从而$$a_{11}=a_1+10\cdot\dfrac{11-2a_1}{13}=\dfrac{110-7a_1}{13},$$由于 $a_1,a_{11}$ 均为正整数，于是可以解得$$(a_1,a_{11})=(12,2),$$于是$$a_{18}=a_1+\dfrac{17}{10}\cdot (a_{11}-a_1)=-5.$$
答案
解析
备注
