已知 $a,b,c$ 都是有理数，$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ 也是有理数，证明：$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 都是有理数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．
若 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 不都是有理数，不妨设 $\sqrt{c}$ 是无理数．
设 $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=p$，则\[\begin{split}&\sqrt{a}+\sqrt{b}=p-\sqrt{c}\\ \Rightarrow &a+b+2\sqrt{ab}={{p}^{2}}+c-2p\sqrt{c}\\ \Rightarrow &2\sqrt{ab}={{p}^{2}}+c-a-b-2p\sqrt{c}\\\Rightarrow &4ab={{\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)}^{2}}+4{{p}^{2}}c-4p\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)\sqrt{c}.\end{split}\]显然 $p>0$，且$${{p}^{2}}=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}>a+b+c,$$所以$$4p\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)\ne 0,$$于是$$\sqrt{c}=\frac{{{\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)}^{2}}+4{{p}^{2}}c-4ab}{4p\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)}$$为有理数，矛盾．
因此 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 都是有理数．
若 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 不都是有理数，不妨设 $\sqrt{c}$ 是无理数．
设 $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=p$，则\[\begin{split}&\sqrt{a}+\sqrt{b}=p-\sqrt{c}\\ \Rightarrow &a+b+2\sqrt{ab}={{p}^{2}}+c-2p\sqrt{c}\\ \Rightarrow &2\sqrt{ab}={{p}^{2}}+c-a-b-2p\sqrt{c}\\\Rightarrow &4ab={{\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)}^{2}}+4{{p}^{2}}c-4p\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)\sqrt{c}.\end{split}\]显然 $p>0$，且$${{p}^{2}}=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}>a+b+c,$$所以$$4p\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)\ne 0,$$于是$$\sqrt{c}=\frac{{{\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)}^{2}}+4{{p}^{2}}c-4ab}{4p\left( {{p}^{2}}+c-a-b \right)}$$为有理数，矛盾．
因此 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 都是有理数．
答案
解析
备注
