至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论．
【难度】
【出处】
2013年北京大学等三校联考自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$4$ 个
【解析】
至多可以找到 $4$ 个，如 $1 , 3 ,7, 9$．
下面证明不能找到 $5$ 个符合题意的正整数．
考虑它们模 $3$ 的余数，设余数为 $0$、$1$、$2$ 的分别有 $a$、$b$、$c$ 个，则
① 若 $a$、$b$、$c$ 均不为零，则存在三个数，它们的和为 $3$ 的倍数，一定不是质数；
② 若 $a$、$b$、$c$ 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同．
此时它们的和为 $3$ 的倍数，一定不是质数．
综上，不能找到 $5$ 个符合题意的正整数．
下面证明不能找到 $5$ 个符合题意的正整数．
考虑它们模 $3$ 的余数，设余数为 $0$、$1$、$2$ 的分别有 $a$、$b$、$c$ 个，则
① 若 $a$、$b$、$c$ 均不为零，则存在三个数，它们的和为 $3$ 的倍数，一定不是质数；
② 若 $a$、$b$、$c$ 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同．
此时它们的和为 $3$ 的倍数，一定不是质数．
综上，不能找到 $5$ 个符合题意的正整数．
答案
解析
备注
