$a\cdot b \cdot c$ 个体积为 $1$ 的单位正方体拼成一个尺寸为 $a\times b \times c$ 的长方体，每个单位正方体的表面都涂上了红色、黄色或者绿色当中的某一种颜色．和" $b \times c$ 面"平行（尺寸为 $1 \times b \times c$）的每一个" $a$ 层"都恰好有 $9$ 个红色单位正方体、$12$ 个绿色单位正方体以及若干个黄色单位正方体；和" $a \times c$ 面"平行（尺寸为 $a \times 1 \times c$）的每一个" $b$ 层"都恰好有 $25$ 个黄色单位正方体、$20$ 个绿色单位正方体以及若干个红色单位正方体．求该长方体体积的最小值．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$180$
【解析】
设每一个" $a$ 层"都恰好有 $x$ 个黄色单位正方体，每一个" $b$ 层"都恰好有 $y$ 个红色单位正方体．由题意，可得$$\begin{cases}9a=yb,\\ xa=25b,\\ 12a=20b,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}3a=5b,\\ x=15,\\y=15.\end{cases}$$故该长方体的体积 $V=36a \geqslant 180$，易知，等号可以取到．
答案
解析
备注
