题目 求证： 问题1 方程 $x^3-x-1=0$ 恰有一个实根 $\omega$，并且 $\omega$ 是无理数； 答案1 略 解析1 设函数 $f(x)=x^3-x-1$，则$$f'(x)=3x^2-1.$$当 $x\geqslant 1$ 时，$f'(x)\geqslant 0$，于是函数 $f(x)$ 单调递增，注意到 $f(1)<0$，$f(2)=5$，因此函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有一个实根，且此根在区间 $(1,2)$ 上．当 $x\leqslant -1\lor 0\leqslant x<1$ 时，有$$x^3-x-1=x(x^2-1)-1\leqslant -1<0,$$方程无实根．当 $-1<x<0$ 时，有$$x^3-x-1<-(x+1)<0,$$方程无实根．<br/>于是方程 $x^3-x-1=0$ 恰有一个实根．下面用反证法证明该实根为无理数．若实根 $\omega=\dfrac qp$，其中 $p,q$ 为互质的正整数，则$$q^3=p^2(p+q),$$于是 $p^2\mid q^3$，可得 $p=1$，这样就与 $\omega$ 在区间 $(1,2)$ 上矛盾．<br/>因此 $\omega$ 为无理数． 备注1 问题2 $\omega$ 不是任何整数系数二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a,b,c\in\mathbb Z$，$a\neq 0$）的根． 答案2 略 解析2 用反证法．若不然，则有$$a\omega^2+b\omega+c=0,$$于是$$\omega^2=-\dfrac ba\omega-\dfrac ca,$$利用此式对$$\omega^3-\omega-1=0$$连续降次，有$$-\dfrac ba\left(-\dfrac ba\omega-\dfrac ca\right)-\dfrac ca\omega-\omega -1=0,$$整理得$$\left(a^2+ac-b^2\right)\omega+\left(a^2-bc\right)=0,$$从而$$\begin{cases}a^2+ac-b^2=0,\\a^2-bc=0,\end{cases}$$从中消元 $b$，得$$a^2+ac-\left(\dfrac{a^2}{c}\right)^2=0,$$即$$\left(\dfrac ac\right)^3-\dfrac ac-1=0,$$由第 $(1)$ 小题可知，矛盾．<br/>因此原命题得证． 备注2 每日一题[219]降次与消元．