求方程 $2^x-5^y\cdot 7^z=1$ 的所有非负整数解 $(x,y,z)$．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$(x,y,z)=(1,0,0),(3,0,1)$
【解析】
根据题意，有$$(-1)^x-(-1)^y\cdot 1^z\equiv 1\pmod 3,$$因此 $x$ 为奇数且 $y$ 为偶数，设 $x=2m+1$，$y=2n$，其中 $m,n\in\mathbb N$．于是原方程等价于 $2\cdot 4^m-25^n\cdot 7^z=1$．
若 $n\neq 0$，则$$2\cdot (-1)^m\equiv 1\pmod 5,$$矛盾，于是 $n=0$．此时原方程等价于 $2\cdot 4^m-7^z=1$．
① 若 $z=0$，则 $m=0$，因此 $(x,y,z)=(1,0,0)$ 为符合题意的一组解．
② 若 $z\neq 0$，则$$-(-1)^z\equiv 1\pmod 4,$$于是 $z$ 为奇数，设 $z=2p+1$，$p\in\mathbb N$，则原方程等价于 $2\cdot 4^m-7\cdot 49^p=1$．若 $p=0$，则 $m=1$，因此 $(x,y,z)=(3,0,1)$ 为符合题意的一组解．若 $p\neq 0$，则 $m\geqslant 4$，于是$$-7\cdot 1^p\equiv 1\pmod {16},$$矛盾．
综上所述，原方程的所有非负整数解为 $(x,y,z)=(1,0,0),(3,0,1)$．
若 $n\neq 0$，则$$2\cdot (-1)^m\equiv 1\pmod 5,$$矛盾，于是 $n=0$．此时原方程等价于 $2\cdot 4^m-7^z=1$．
① 若 $z=0$，则 $m=0$，因此 $(x,y,z)=(1,0,0)$ 为符合题意的一组解．
② 若 $z\neq 0$，则$$-(-1)^z\equiv 1\pmod 4,$$于是 $z$ 为奇数，设 $z=2p+1$，$p\in\mathbb N$，则原方程等价于 $2\cdot 4^m-7\cdot 49^p=1$．若 $p=0$，则 $m=1$，因此 $(x,y,z)=(3,0,1)$ 为符合题意的一组解．若 $p\neq 0$，则 $m\geqslant 4$，于是$$-7\cdot 1^p\equiv 1\pmod {16},$$矛盾．
综上所述，原方程的所有非负整数解为 $(x,y,z)=(1,0,0),(3,0,1)$．
答案
解析
备注
