是否存在实数 $x$，使 $\tan x + \sqrt 3 $ 与 $\cot x + \sqrt 3 $ 均为有理数？
【难度】
【出处】
2009年北京大学自主招生保送生考试
【标注】
【答案】
不存在
【解析】
设$$p = \tan x + \sqrt 3 ,q = \cot x + \sqrt 3 .$$设 $p$ 和 $q$ 均为有理数，则$$\left( {p - \sqrt 3 } \right)\left( {q - \sqrt 3 } \right) = \tan x \cdot \cot x = 1,$$即$$pq +2 = \sqrt 3 \left( {p + q} \right).$$因为 $pq +2$，$p + q$ 均为有理数，于是有$$\begin{cases}p+q=0,\\ pq +2= 0 .\end{cases}$$于是 ${p^2} -2 = 0$，矛盾．
答案
解析
备注
