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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27453 5909882239f91d000a7e456b 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega$，$P,Q$ 是线段 $AB$ 上的点，且 $AP<AQ$．射线 $CP,CQ$ 分别交圆 $\omega$ 于点 $S,T$．如果 $AP=4,PQ=3,QB=6,BT=5,AS=7$，设 $ST=\dfrac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 21:21:04
27184 591270c1e020e700094b0b1b 高中 解答题 自招竞赛 已知矩形的长、宽分别为 $a$、$b$，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求折线长． 2022-04-17 21:54:01
27158 590fde38857b4200092b075e 高中 解答题 自招竞赛 如图，$AB$ 是 $ \odot O$ 的直径，弦 $CD$ 垂直 $AB$ 于点 $M$，$E$ 是 $CD$ 延长线上的一点，$AB = 10$，$CD = 8$，$3ED = 4OM$，$EF$ 是 $ \odot O$ 的切线，$F$ 是切点，$BF$ 与 $CD$ 相交于点 $G$． 2022-04-17 21:39:01
26945 591270eae020e7000a798a66 高中 解答题 自招竞赛 求证：边长为 $1$ 的正五边形对角线长为 $\dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$． 2022-04-17 20:41:59
24183 5985e7195ed01a000ba75b50 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$\angle CAD = \angle BAD = \angle ABD = \angle BCD$，求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列． 2022-04-17 20:21:34
23828 59b73402b049650008cb66f6 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心．以 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径作圆 $\varGamma_1$，以 $I$ 为圆心，$IB$ 为半径作圆 $\varGamma_2$，过点 $B,I$ 的圆 $\varGamma_3$ 与 $\varGamma_1,\varGamma_2$ 分别交于点 $P,Q$（不同于点 $B$）．设 $IP$ 与 $BQ$ 交于点 $R$．证明：$BR\perp CR$． 2022-04-17 20:12:31
22944 592418c682e8bd0007791fd9 高中 解答题 高中习题 如图，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内部一点，且 $\angle BAP=\angle CAP=\angle CBP=\angle ACP$，求证：$BC^2=AC\cdot AB$． 2022-04-17 20:04:23
22821 595c82e36e0c65000a2cfa30 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2 }+\dfrac{y^2}{b^2 }=1\left(a>b>0\right) $ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{ 2} $，其短轴的下端点在抛物线 $x^2=4y $ 的准线上．设 $ O$ 为坐标原点，$ M$ 是直线 $l:x=2 $ 上的动点，$ F$ 为椭圆的右焦点，过点 $F $ 作 $OM $ 的垂线与以 $OM $ 为直径的圆 $C_2 $ 相交于 $P$，$Q $ 两点，与椭圆 $C_1 $ 相交于 $ A$，$B$ 两点，如图所示． 2022-04-17 20:55:21
21686 5a58379a1ccf88000838ac22 高中 解答题 高中习题 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$BC=2$，$\angle B=45^\circ$，$AD=\sqrt 3 AC$，$\angle DAC=2\angle ACB$． 2022-04-17 20:14:11
21378 596713d6030398000978b32c 高中 解答题 高中习题 已知 $P$ 是单位圆 $O$ 上一点，$A(1,0)$，$B(0,1)$，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，求证：$AN\cdot BM$ 为定值． 2022-04-17 20:24:08
21127 5c6a3ea5210b281db9f4c700 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$P$ 是 $\vartriangle ABC$ 内一点，过 $P$ 分别作直线平行于 $\vartriangle ABC$ 的各边，所形成的小三角形 ${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$ 与 ${{t}_{3}}$ 的面积分别是4，9和49．
求 $\vartriangle ABC$ 的面积．		 2022-04-17 20:08:06
21119 5c6a44ba210b281db9f4c73b 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，把单位正方形的每边分为 $n$ 等分，再连接每个顶点与其相对顶点最近的分点，这样的正方形的内部作出了一个小正方形，如果小正方形（图中用阴影表示）的面积恰好是 $\frac{1}{1985}$，求 $n$ 的值． 2022-04-17 20:03:06
21118 5c6a44ca210b281db9f4c747 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$\vartriangle ABC$ 被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分为六个小的三角形，其中四个小三角形的面积已在图中标出，求 $\vartriangle ABC$ 的面积． 2022-04-17 20:03:06
21108 5c6a4e74210b281dbaa933c3 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=425$，$BC=450$，$CA\text{=}510$，$P$ 在三角形的内部，$DE$，$FG$，$HI$ 都过 $P$ 点，长度都为 $d$，分别平行于 $AB$，$BC$，$CA$，求 $d$． 2022-04-17 20:58:05
21062 5c6bab50210b281db9f4c890 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 的边长 $AB$ 为4，$CB$ 为3．用点 $A={{P}_{0}}$，${{P}_{1}}$，…，${{P}_{168}}=B$ 将 $AB$ 平分为168份；用点 $C={{Q}_{0}} {{Q}_{1}} \cdots {{Q}_{168}}=B$ 将 $CB$ 平分为168份．对 $1\leqslant k\leqslant 167$，连接线段 ${{P}_{k}}{{Q}_{k}}$．对于边 $AD$ 和 $CD$ 重复这样的工作并连接对角线 $AC$．求这335条平行线段的长度和． 2022-04-17 20:31:05
21038 5c6bd2ef210b281db9f4c8ff 高中 解答题 自招竞赛 在梯形 $ABCD$ 中，$AB=92$，$BC=50$，$CD=19$，$AD=70$，$AB$ 平行于 $CD$，以 $AB$ 上的点 $P$ 为圆心的圆与 $BC$ 和 $AD$ 相切．已知 $AP=\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:18:05
21033 5c6bd313210b281db9f4c915 高中 解答题 自招竞赛 在三角形 $ABC$ 中，${A}'$，${B}'$ 和 ${C}'$ 分别在 $BC$，$AC$ 和 $AB$ 上，$A{A}'$，$B{B}'$ 和 $C{C}'$ 相交于一点 $O$，并且 $\frac{AO}{O{A}'}+\frac{BO}{O{B}'}+\frac{CO}{O{C}'}=92$，求 $\frac{AO}{O{A}'}\cdot \frac{BO}{O{B}'}\cdot \frac{CO}{O{C}'}$ 的值． 2022-04-17 20:15:05
20961 5c6f5a3d210b28015052738c 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCD$ 是一个平行四边形，延长 $DA$ 至 $P$，$PC$ 交 $AB$ 于 $Q$，交 $DB$ 于 $R$．已知 $PQ=735$，$QR=112$，求 $RC$． 2022-04-17 20:32:04
20919 5c78e927210b28428f14cf89 高中 解答题 自招竞赛 梯形的一条底边比另一条底边长100个单位．梯形两腰中点的连线把梯形分成面积比为 $2:3$ 的两部分．设 $x$ 是连接梯形的两腰，平行于梯形底边，并分梯形为面积相等的两部分的线段的长度，求出不超过 $\frac{{{x}^{2}}}{100}$ 的最大整数． 2022-04-17 20:12:04
20886 5c78f267210b284290fc2699 高中 解答题 自招竞赛 在四边形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=\angle ADC$，$\angle ABD=\angle BCD$，$AB=8$，$BD=10$，$BC=6$．若线段 $CD$ 的长可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:57:03
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