如图，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内部一点，且 $\angle BAP=\angle CAP=\angle CBP=\angle ACP$，求证：$BC^2=AC\cdot AB$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，延长 $AP$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆相交于点 $Q$，连接 $QB,QC$，设题中相等的四个角均为 $\alpha$，则$$\angle QBC=\angle QCB=\alpha.$$
这样就有 $\triangle ABC,\triangle BPQ,\triangle PQC$ 均相似，从而$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{PQ}{BQ},\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{PQ}{QC},$$又 $BQ=CQ$，因此 $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{BC}$，原命题得证．
这样就有 $\triangle ABC,\triangle BPQ,\triangle PQC$ 均相似，从而$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{PQ}{BQ},\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{PQ}{QC},$$又 $BQ=CQ$，因此 $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{BC}$，原命题得证．
答案
解析
备注
