在四边形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=\angle ADC$，$\angle ABD=\angle BCD$，$AB=8$，$BD=10$，$BC=6$．若线段 $CD$ 的长可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
69
【解析】
如图所示，延长 $AB$ 与 $DC$ 交于点 $P$．由于 $\angle PCB$ 与 $\angle PBD$ 分别是 $\angle BCD$ 与 $\angle ABD$ 的补角，故它们相等．因此 $\vartriangle PCB$ 与 $\vartriangle PBD$ 相似，故 $\frac{PD-8}{PD}=\frac{PB}{PD}=\frac{CB}{BD}=\frac{6}{10}$，
因此，$PA=PD=20$，$PB=12$，$\frac{PC}{12}=\frac{6}{10}$，得 $PC=7.2$．因此 $CD=12.8=\frac{64}{5}$，故 $m+n=69$．
因此，$PA=PD=20$，$PB=12$，$\frac{PC}{12}=\frac{6}{10}$，得 $PC=7.2$．因此 $CD=12.8=\frac{64}{5}$，故 $m+n=69$．
答案
解析
备注
