如图，$AB$ 是 $ \odot O$ 的直径，弦 $CD$ 垂直 $AB$ 于点 $M$，$E$ 是 $CD$ 延长线上的一点，$AB = 10$，$CD = 8$，$3ED = 4OM$，$EF$ 是 $ \odot O$ 的切线，$F$ 是切点，$BF$ 与 $CD$ 相交于点 $G$．
【难度】
【出处】
2012年卓越人才培养合作高校自主选拔学业能力测试数学试题
【标注】
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求线段 $EG$ 的长．标注答案$4\sqrt 3 $解析连接 $OC$，$OF$，$AF$．
由 $CM=4$，$OM=\sqrt {OC^2-CM^2}=3$，知$$ED = \dfrac{4}{3}OM = 4.$$由 $E{F^2} = DE \cdot EC $，得 $EF = 4\sqrt 3 $．
由$$\angle BFE = \angle FAB = \angle MGB = \angle FGE,$$知 $EF = EG = 4\sqrt 3 $． -
连接 $DF$，判断 $DF$ 是否平行于 $AB$，并证明你的结论．标注答案不平行解析若有 $FD \perp CE$，则$$\dfrac{{FD}}{{MB}} = \dfrac{{GD}}{{MG}},$$即$$\dfrac{{FD}}{2} = \dfrac{{4\sqrt 3 - 4}}{{8 - 4\sqrt 3 }} .$$得$$ FD = 2\left( {\sqrt 3 + 1} \right). $$而由 $\triangle FDE$ 为直角三角形，知$$FD = \sqrt {E{F^2} - D{E^2}} = 4\sqrt 2 ,$$矛盾！故 $DF$ 与 $AB$ 不平行．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
