如图所示，$\vartriangle ABC$ 被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分为六个小的三角形，其中四个小三角形的面积已在图中标出，求 $\vartriangle ABC$ 的面积．
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
315
【解析】
如果两个三角形的高相同，则它们的面积的比就等于对应的底边长之比．设另外两个小三角形的面积分别为 $x$，$y$（图5），则有
$\frac{40}{30}=\frac{40+y+84}{30+35+x}$，$\frac{35}{x}=\frac{35+30+40}{x+84+y}$，$\frac{84}{y}=\frac{84+x+35}{y+40+30}$．
从前两个方程解出 $x=70$，$y=56$，这个解也恰满足第三个方程．所以 $\vartriangle ABC$ 面积是
$30+35+70+84+56+40=315$．
$\frac{40}{30}=\frac{40+y+84}{30+35+x}$，$\frac{35}{x}=\frac{35+30+40}{x+84+y}$，$\frac{84}{y}=\frac{84+x+35}{y+40+30}$．
从前两个方程解出 $x=70$，$y=56$，这个解也恰满足第三个方程．所以 $\vartriangle ABC$ 面积是
$30+35+70+84+56+40=315$．
答案
解析
备注
