如图所示，在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=425$，$BC=450$，$CA\text{=}510$，$P$ 在三角形的内部，$DE$，$FG$，$HI$ 都过 $P$ 点，长度都为 $d$，分别平行于 $AB$，$BC$，$CA$，求 $d$．
【难度】
【出处】
1986年第4届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
306
【解析】
如图所示，$EH=EC-\left( BE+HC \right)=BC-\left( FP+PG \right)=450-d$．
同理 $GD=510-d$．
由 $\vartriangle DPG\backsim \vartriangle ABC$ 得 $DP=\frac{AB}{GA}\cdot GD=\frac{425}{510}\left( 510-d\right)=425-\frac{5}{6}d$．
又由 $\vartriangle PEH\backsim \vartriangle ABC$ 得 $PE=\frac{AB}{BC}\cdot EH=\frac{425}{450}\left( 450-d\right)=425-\frac{17}{18}d$，
所以 $d=DP+PE=850-\frac{16}{9}d$，$d=306$．
同理 $GD=510-d$．
由 $\vartriangle DPG\backsim \vartriangle ABC$ 得 $DP=\frac{AB}{GA}\cdot GD=\frac{425}{510}\left( 510-d\right)=425-\frac{5}{6}d$．
又由 $\vartriangle PEH\backsim \vartriangle ABC$ 得 $PE=\frac{AB}{BC}\cdot EH=\frac{425}{450}\left( 450-d\right)=425-\frac{17}{18}d$，
所以 $d=DP+PE=850-\frac{16}{9}d$，$d=306$．
答案
解析
备注
