已知 $P$ 是单位圆 $O$ 上一点，$A(1,0)$，$B(0,1)$，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，求证：$AN\cdot BM$ 为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
以 $P$ 点在第三象限为例，如图，连接 $AB$，$MN$．
设 $\angle PBM=\theta$，则$$\angle AMB=\angle ABN=45^\circ+\theta , \angle BAM=90^\circ-\theta=\angle ANB.$$于是\[\dfrac{AN}{\sin\angle ABN}=\dfrac{AB}{\sin\angle ANB},\dfrac{BM}{\sin\angle BAM}=\dfrac{AB}{\sin \angle AMB},\]于是\[AN\cdot BM=AB^2\cdot \dfrac{\sin\angle ABN}{\sin\angle ANB}\cdot \dfrac{\sin \angle BAM}{\sin\angle AMB}=AB^2=2.\]
设 $\angle PBM=\theta$，则$$\angle AMB=\angle ABN=45^\circ+\theta , \angle BAM=90^\circ-\theta=\angle ANB.$$于是\[\dfrac{AN}{\sin\angle ABN}=\dfrac{AB}{\sin\angle ANB},\dfrac{BM}{\sin\angle BAM}=\dfrac{AB}{\sin \angle AMB},\]于是\[AN\cdot BM=AB^2\cdot \dfrac{\sin\angle ABN}{\sin\angle ANB}\cdot \dfrac{\sin \angle BAM}{\sin\angle AMB}=AB^2=2.\]
答案
解析
备注
