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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20654 5c7769ba210b284290fc25f9 高中 解答题 自招竞赛 两个不全等的等腰三角形的各边长度都为整数，且它们的面积相等，周长也相等。这两个三角形的底边长度之比为 $8:7$，求它们共同的周长的最小值。 2022-04-17 20:46:01
20628 5c8b1b48210b286d07454118 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{z}_{1}}\text{,}{{z}_{2}}\text{,}{{z}_{3}}\text{,}\cdots \text{,}{{z}_{12}}$ 为多项式 ${{z}^{12}}-{{2}^{36}}$ 的12个根。对于每一个 $j$，令 ${{w}_{j}}$ 取值 ${{z}_{j}}$ 或 $i{{z}_{j}}$ 。这时 $\displaystyle \sum\limits_{j\text{=}1}^{12}{{{w}_{j}}}$ 实部的最大值可以写作 $m+\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:32:01
20613 5c8efe83210b286d07454175 高中 解答题 自招竞赛 Butch和Sundance需要逃出Dodge。他们按如下方式交替选择走路和骑他们共同的马Sparky：Butch先走路Sundance骑马，当Sundance到达第一个系留柱（系留柱沿途每间隔一英里设置一个）后，他将Sparky拴在柱子上然后改换步行。当Butch到达Sparky后，他便改换骑马，追上Sundance之后Butch在下一个系留柱拴马改回步行。依次方式，Sparky，Butch和Sundance分别 $\text{6}4,2.5$ 英里每小时的速度前行。当Butch和Sundance第一次在英里路标遇到时，他们离出发地Dodge有 $n$ 英里远并且已出发 $t$ 分钟。求 $n+t$ 。 2022-04-17 20:24:01
20606 5c8efed5210b286d125ef34d 高中 解答题 自招竞赛 复数 $a\text{,}b\text{,}c$ 是多项式 $P\left( z \right)\text{=}{{z}^{3}}+qz+r$ 的零点且 ${{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}+{{\left| c \right|}^{2}}\text{=}250$ 。 $a\text{,}b\text{,}c$ 对应在复平面的点构成直角三角形，其斜边长为 $h$ 。求 ${{h}^{2}}$ 。 2022-04-17 20:21:01
20598 5c8f567d210b286d074541dc 高中 解答题 自招竞赛 实数 $x\text{,}y$ 满足 $\frac{\sin x}{\sin y}\text{=}3\text{,}\frac{\operatorname{cosx}}{\cos y}\text{=}\frac{1}{2}$ 。 $\frac{\sin 2x}{\sin 2y}+\frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ 可表示为 $\frac{p}{q}$ 其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:18:01
20596 5c8f5688210b286d125ef399 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{f}_{1}}\left( x \right)\text{=}\frac{2}{3}-\frac{3}{3x+1}$，对 $n\geqslant 2$，${{f}_{n}}\left( x \right)\text{=}{{f}_{1}}\left( {{f}_{n-1}}\left( x \right) \right)$ 。使得 ${{f}_{1001}}\left( x \right)\text{=}x-3$ 的 $x$ 可表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:17:01
20591 5c90871a210b286d07454226 高中 解答题 自招竞赛 AIME三项全能运动有半英里游泳，$30$ 英里自行车和 $8$ 英里跑构成。Tom 在比赛中分别以匀速游泳、骑车，跑步。他跑步的速度是有游泳的五倍，骑车的速度是跑步的两倍。Tom完成全部三项一共用时 $4.5$ 小时。求他花了多少分钟骑车 2022-04-17 20:14:01
20587 5c908731210b286d125ef3de 高中 解答题 自招竞赛 方程 $8{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1\text{=}0$ 的实根可以表示为 $\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正整数。求 $a+b+c$ 2022-04-17 20:12:01
20584 5c908742210b286d07454235 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f\left( x \right)\text{=}\arcsin \left( {{\log }_{m}}\left( nx \right) \right)$ 的定义域是长度为 $\frac{1}{2013}$ 的区间，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数，且 $m\text{}1$ 。求 $m+n$ 最小值模 $1000$ 的值 2022-04-17 20:10:01
20577 5c91ccc1210b286d125ef43d 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $a\text{,}b$ 满足条件 ${{\log }_{2}}\left( {{\log }_{{{2}^{a}}}}\left( {{\log }_{{{2}^{b}}}}\left( {{2}^{1000}} \right) \right) \right)\text{=}0$．求所有可能的 $a+b$ 的值的和 2022-04-17 20:06:01
20576 5c91ccc7210b286d07454265 高中 解答题 自招竞赛 一个蜡烛高 $119cm$．该蜡烛一开始燃烧速率最快，随着剩余部分越少燃烧速率逐渐降低。从顶端燃烧至离顶部 $1cm$ 需 $10s$，再燃烧 $1cm$ 需要 $20s$，依此类推，从顶端数第 $k$ 段 $1cm$ 的蜡烛燃烧需要 $10ks$ 。假设蜡烛完全燃尽需要 $Ts$，那么点燃后 $\frac{T}{2}s$，蜡烛剩余部分长为 $h$ 。求 $10h$ 2022-04-17 20:05:01
20573 5c91cce4210b286d125ef453 高中 解答题 自招竞赛 一组职员要做给 $1775$ 个文件分类的任务。每个职员的工作效率均为每小时 $30$ 个文件。工作一个小时后，一些职员被分配做其他工作，第二个小时结束时同样数量的职员也被分配到其他工作，同理开始工作三小时同样数量的人又被调配做其他工作。完成所有工作一共花去 $3$ 小时 $10$ 分钟。求开始工作一个半小时内分类了多少文件 2022-04-17 20:03:01
20569 5c91cd04210b286d07454278 高中 解答题 自招竞赛 $A\text{=}\left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\}$，$N$ 为 $A$ 到 $A$ 的函数 $f$ 的个数，其中 $f$ 满足 $f\left( f\left( x \right) \right)$ 为常数。求 $N$ 模1000的值 2022-04-17 20:01:01
20568 5c91cd0a210b286d125ef461 高中 解答题 自招竞赛 $S$ 为形式为 ${{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c$ 的多项式的集合，其中 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正整数。求 $S$ 中符合所有根满足 $\left| z \right|\text{=}20$ 或 $\left| z \right|\text{=}13$ 的多项式的个数 2022-04-17 20:00:01
20561 5c9308c1210b286d074542af 高中 解答题 自招竞赛 $S\text{=}\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots ,{{P}_{12}} \right\}$ 是一正十二边形顶点的集合。其子集 $Q$ 被称为“公共的”如果存在一个圆使得其所有元素在圆内，其补集的元素均在该圆外。求“公共的”子集的个数（空集被认为是“公共的”） 2022-04-17 20:55:00
20560 5c9308c8210b286d125ef4bd 高中 解答题 自招竞赛 $y\text{=}3{{\left( x-h \right)}^{2}}+j\text{,}y\text{=}2{{\left( x-h \right)}^{2}}+k$ 的图像分别在 $y$ 轴的截距分别为 $2013$ 和 $2014$，且每个函数在 $x$ 轴截距为两正整数。求 $h$ 2022-04-17 20:55:00
20556 5c9308e9210b286d125ef4d4 高中 解答题 自招竞赛 $A\text{=}\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}4 \right\}$，$f\text{,}g$ 为随机选取的从 $A$ 到 $A$ 的函数。 $f\text{,}g$ 值域互不相交的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:53:00
20554 5c9308f4210b286d074542c4 高中 解答题 自招竞赛 $m$ 是方程 $\frac{3}{x-3}+\frac{5}{x-5}+\frac{17}{x-17}+\frac{19}{x-19}\text{=}{{x}^{2}}-11x-4$ 的最大实根。 $m$ 可表示为 $m\text{=}a+\sqrt{b+\sqrt{c}}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正整数。求 $a+b+c$ 2022-04-17 20:52:00
20548 5c944b6b210b286d125ef568 高中 解答题 自招竞赛 若 $r\text{,}s$ 是函数 $p\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}+ax+b$ 的零点，且 $r+4\text{,}s-3$ 是函数 $q\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}+ax+b+240$ 的零点。求所有满足条件的 $b$ 的绝对值之和 2022-04-17 20:48:00
20546 5c944b75210b286d0745431c 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( x \right)\text{=}{{\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)}^{\cos \left( \pi x \right)}}$，正整数 $n$ 满足 $\displaystyle \left| \sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\lg f\left( k \right)} \right|\text{=}1$ 。求所有满足条件的正整数 $n$ 的和 2022-04-17 20:48:00
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