若 $r\text{,}s$ 是函数 $p\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}+ax+b$ 的零点，且 $r+4\text{,}s-3$ 是函数 $q\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}+ax+b+240$ 的零点。求所有满足条件的 $b$ 的绝对值之和
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
420
【解析】
根据韦达定理可设 $r\text{,}s\text{,}-r-s$ 为 $p\left(x \right)$ 的根。于是 ${{r}^{3}}+ar+b\text{=}0\text{,}{{s}^{3}}+as+b\text{=}0$ 。同时 $q\left(r+4 \right)\text{=}{{\left( r+4 \right)}^{3}}+a\left( r+4\right)+b+240\text{=}12{{r}^{2}}+48r+304+4a\text{=}0$，$q\left( s-3\right)\text{=}{{\left( s-3 \right)}^{3}}+a\left( s-3\right)+b+240\text{=}-9{{s}^{2}}+27s+213-3a\text{=}0$，两式相加化简得到 ${{r}^{2}}-{{s}^{2}}+4r+3s+49\text{=}0$（*）。将 $r\text{,}s\text{,}-r-s$ 和 $r+4\text{,}s-3\text{,}-1-r-s$ 分别代入 $p\left(x \right)\text{,}q\left( x \right)$ 得到两式，对比系数得到 $rs+\left( -r-s \right)\left( r+s\right)\text{=}\left( r+4 \right)\left( s-3 \right)+\left( -r-s-1 \right)\left(r+s+1 \right)$ 。化简后得到 $s\text{=}\frac{13+5r}{2}$ 。代回（*）式，解得 $\left\{\begin{matrix}
r\text{=}1 \\
s\text{=}9 \\
\end{matrix} \right.$ 或 $\left\{ \begin{matrix}r\text{=}-5 \\
s\text{=}-6 \\
\end{matrix}\right.$ 。 $b\text{=}rs\left( r+s \right)$，所以 $b\text{=}90\text{,}-330$，所有 $b$ 绝对值之和为 $420$ 。
r\text{=}1 \\
s\text{=}9 \\
\end{matrix} \right.$ 或 $\left\{ \begin{matrix}r\text{=}-5 \\
s\text{=}-6 \\
\end{matrix}\right.$ 。 $b\text{=}rs\left( r+s \right)$，所以 $b\text{=}90\text{,}-330$，所有 $b$ 绝对值之和为 $420$ 。
答案
解析
备注
