$A\text{=}\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}4 \right\}$，$f\text{,}g$ 为随机选取的从 $A$ 到 $A$ 的函数。 $f\text{,}g$ 值域互不相交的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
453
【解析】
可能的情况为 $f1g1\text{;}f1g2\text{;}f1g3\text{;}f2g2\text{;}f3g1$ 。注意到总数为 ${{4}^{4}}*{{4}^{4}}\text{=}{{4}^{8}}$ 且 $1\text{,}2$ 和 $1\text{,}3$ 的情况为对称的，故我们分如下情况讨论：
$f1g1\text{:}4*3\text{=}12$
$f1g2\text{:}2*12*14$
$f2g2\text{:}6*14*14$
$f1g3\text{:2}*4*3*12$
故 $\dfrac{3*\left(1+2*{{7}^{2}}+{{2}^{2}}*7+{{2}^{3}}*3 \right)}{{{4}^{7}}}$，所求值为 $453$
$f1g1\text{:}4*3\text{=}12$
$f1g2\text{:}2*12*14$
$f2g2\text{:}6*14*14$
$f1g3\text{:2}*4*3*12$
故 $\dfrac{3*\left(1+2*{{7}^{2}}+{{2}^{2}}*7+{{2}^{3}}*3 \right)}{{{4}^{7}}}$，所求值为 $453$
答案
解析
备注
