$S$ 为形式为 ${{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c$ 的多项式的集合，其中 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正整数。求 $S$ 中符合所有根满足 $\left| z \right|\text{=}20$ 或 $\left| z \right|\text{=}13$ 的多项式的个数
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
540
【解析】
实系数三次方程要么有三个实根，要么有一个实根和一对共轭复根。我们下面分情况讨论：
（1）$f\left( z \right)\text{=}\left( z-r\right)\left( z-w \right)\left( z-\bar{w} \right)$ 。则实根 $r$ 的取值只能为 $\pm20,\pm 13$ 。由韦达定理，$a\text{=}-\left( r+w+\bar{w}\right)\text{,}b\text{=}{{\left| w \right|}^{2}}+r\left( w+\bar{w}\right)\text{,}c\text{=}-r{{\left| w \right|}^{2}}$ 。 $w+\bar{w}\text{=}\Re\left( w \right)\in \mathbb{Z}$，设 $w\text{=}\alpha +i\beta $ 。
$\left| w \right|\text{=}20$ 。则 $-20\text{}\Re\left( w \right)\text{}20\to -40\text{}2\Re \left( w \right)\text{}40$ 。在区间中有 $79$ 个整数供 $2\Re\left( w \right)$ 选择，每个值对应唯一的虚部为正的根。
$\left| w \right|\text{=13}$ 。同理可知，在区间中有 $51$ 个整数供 $2\Re\left( w \right)$ 选择，每个值对应唯一的虚部为正的根。
此类情况共有 $4\cdot\left( 79+51 \right)\text{=}520$ 种可能
（2）$f\left( z \right)\text{=}\left( z-{{r}_{1}}\right)\left( z-{{r}_{2}} \right)\left( z-{{r}_{3}} \right)$，${{r}_{1}}\text{,}{{r}_{2}}\text{,}{{r}_{3}}\in R$ 。实根的可能取值为 $\pm 13\text{,}\pm 20$ 。共 $\left( \begin{matrix}
6 \\
3 \\
\end{matrix} \right)\text{=}20$ 种可能。
综上满足条件的多项式有 $520+20\text{=}540$ 个
（1）$f\left( z \right)\text{=}\left( z-r\right)\left( z-w \right)\left( z-\bar{w} \right)$ 。则实根 $r$ 的取值只能为 $\pm20,\pm 13$ 。由韦达定理，$a\text{=}-\left( r+w+\bar{w}\right)\text{,}b\text{=}{{\left| w \right|}^{2}}+r\left( w+\bar{w}\right)\text{,}c\text{=}-r{{\left| w \right|}^{2}}$ 。 $w+\bar{w}\text{=}\Re\left( w \right)\in \mathbb{Z}$，设 $w\text{=}\alpha +i\beta $ 。
$\left| w \right|\text{=}20$ 。则 $-20\text{}\Re\left( w \right)\text{}20\to -40\text{}2\Re \left( w \right)\text{}40$ 。在区间中有 $79$ 个整数供 $2\Re\left( w \right)$ 选择，每个值对应唯一的虚部为正的根。
$\left| w \right|\text{=13}$ 。同理可知，在区间中有 $51$ 个整数供 $2\Re\left( w \right)$ 选择，每个值对应唯一的虚部为正的根。
此类情况共有 $4\cdot\left( 79+51 \right)\text{=}520$ 种可能
（2）$f\left( z \right)\text{=}\left( z-{{r}_{1}}\right)\left( z-{{r}_{2}} \right)\left( z-{{r}_{3}} \right)$，${{r}_{1}}\text{,}{{r}_{2}}\text{,}{{r}_{3}}\in R$ 。实根的可能取值为 $\pm 13\text{,}\pm 20$ 。共 $\left( \begin{matrix}
6 \\
3 \\
\end{matrix} \right)\text{=}20$ 种可能。
综上满足条件的多项式有 $520+20\text{=}540$ 个
答案
解析
备注
