正整数 $a\text{,}b$ 满足条件 ${{\log }_{2}}\left( {{\log }_{{{2}^{a}}}}\left( {{\log }_{{{2}^{b}}}}\left( {{2}^{1000}} \right) \right) \right)\text{=}0$．求所有可能的 $a+b$ 的值的和
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
881
【解析】
${{\log}_{{{2}^{a}}}}\left( {{\log }_{{{2}^{b}}}}\left( {{2}^{1000}} \right)\right)\text{=}1\to {{\log }_{{{2}^{b}}}}\left( {{2}^{1000}}\right)\text{=}{{2}^{a}}\to {{\left( {{2}^{b}} \right)}^{\left( {{2}^{a}}\right)}}\text{=}{{2}^{1000}}$ 。故 $b\cdot {{2}^{a}}\text{=}1000\to \left\{\begin{matrix}
a\text{=}1\text{,}b\text{=}500 \\
a\text{=}2\text{,}b\text{=}250 \\
a\text{=}3\text{,}b\text{=}125 \\
\end{matrix}\right.$ 。所求答案为 $1+500+2+250+3+125\text{=}881$
a\text{=}1\text{,}b\text{=}500 \\
a\text{=}2\text{,}b\text{=}250 \\
a\text{=}3\text{,}b\text{=}125 \\
\end{matrix}\right.$ 。所求答案为 $1+500+2+250+3+125\text{=}881$
答案
解析
备注
