复数 $a\text{,}b\text{,}c$ 是多项式 $P\left( z \right)\text{=}{{z}^{3}}+qz+r$ 的零点且 ${{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}+{{\left| c \right|}^{2}}\text{=}250$ 。 $a\text{,}b\text{,}c$ 对应在复平面的点构成直角三角形，其斜边长为 $h$ 。求 ${{h}^{2}}$ 。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
375
【解析】
由韦达定理，$a+b+c\text{=}0$ 。因为三角形重心为顶点的均值，故其重心为复平面原点。设两直角边长分别为 $x\text{,}y$ 。不失一般性，不妨设 $ac$ 为斜边。由重心的性质，有\[\begin{align}
& {{\left| a\right|}^{^{2}}}\text{=}\frac{4}{9}\left( {{\left( \frac{x}{2}\right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\text{=}\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{4{{y}^{2}}}{9}\\
& {{\left| c\right|}^{2}}\text{=}\frac{4}{9}\left( {{\left( \frac{y}{2} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}\right)\text{=}\frac{{{y}^{2}}}{9}+\frac{4{{x}^{2}}}{9} \\
\end{align}\]，${{\left| b \right|}^{2}}\text{=}\frac{4}{9}\cdot\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}\text{=}\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{9}$ 。所以 ${{\left|a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}+{{\left| c\right|}^{2}}\text{=}\frac{6{{x}^{2}}+6{{y}^{2}}}{9}\text{=}\frac{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}{3}\text{=}250\text{,}{{h}^{2}}\text{=}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\text{=}375$
& {{\left| a\right|}^{^{2}}}\text{=}\frac{4}{9}\left( {{\left( \frac{x}{2}\right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\text{=}\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{4{{y}^{2}}}{9}\\
& {{\left| c\right|}^{2}}\text{=}\frac{4}{9}\left( {{\left( \frac{y}{2} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}\right)\text{=}\frac{{{y}^{2}}}{9}+\frac{4{{x}^{2}}}{9} \\
\end{align}\]，${{\left| b \right|}^{2}}\text{=}\frac{4}{9}\cdot\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}\text{=}\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{9}$ 。所以 ${{\left|a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}+{{\left| c\right|}^{2}}\text{=}\frac{6{{x}^{2}}+6{{y}^{2}}}{9}\text{=}\frac{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}{3}\text{=}250\text{,}{{h}^{2}}\text{=}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\text{=}375$
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备注
