$m$ 是方程 $\frac{3}{x-3}+\frac{5}{x-5}+\frac{17}{x-17}+\frac{19}{x-19}\text{=}{{x}^{2}}-11x-4$ 的最大实根。 $m$ 可表示为 $m\text{=}a+\sqrt{b+\sqrt{c}}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正整数。求 $a+b+c$
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
263
【解析】
对原式进行恒等变形 $\left(\frac{3}{x-3}+1 \right)+\left( \frac{1}{x-5}+1 \right)+\left( \frac{1}{x-17}+1\right)+\left( \frac{1}{x-19}+1 \right)\text{=}{{x}^{2}}-11x$，$x\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x-17}+\frac{1}{x-19}\right)\text{=}x\left( x-11 \right)$，欲求最大解，可在等式两侧约去 $x$ 。于是得到 $\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x-17}+\frac{1}{x-19}\text{=}x-11$，令 $y\text{=}x-11$ 则 $\begin{align}
&\frac{1}{y+8}+\frac{1}{y+6}+\frac{1}{y-6}+\frac{1}{y-8}\text{=}y \\
&\frac{2y}{\left( y+8 \right)\left( y-8 \right)}+\frac{2y}{\left( y+6\right)\left( y-6 \right)}\text{=}y \\
&\frac{2}{{{y}^{2}}-64}+\frac{2}{{{y}^{2}}-36}\text{=}1 \\
&\frac{4{{y}^{2}}-200}{{{y}^{4}}-100{{y}^{2}}+64\cdot 36}\text{=}1 \\
\end{align}$ 所以 ${{y}^{4}}-100{{y}^{2}}+64\cdot 36\text{=}4{{y}^{2}}-200$，整理得到 ${{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}-104{{y}^{2}}+2504\text{=}0$ 解得 $y_{\max }^{2}\text{=}52+10\sqrt{2}\to {{x}_{\max}}\text{=}11+\sqrt{52+\sqrt{200}}$，则所求值为 $11+52+200\text{=}263$
&\frac{1}{y+8}+\frac{1}{y+6}+\frac{1}{y-6}+\frac{1}{y-8}\text{=}y \\
&\frac{2y}{\left( y+8 \right)\left( y-8 \right)}+\frac{2y}{\left( y+6\right)\left( y-6 \right)}\text{=}y \\
&\frac{2}{{{y}^{2}}-64}+\frac{2}{{{y}^{2}}-36}\text{=}1 \\
&\frac{4{{y}^{2}}-200}{{{y}^{4}}-100{{y}^{2}}+64\cdot 36}\text{=}1 \\
\end{align}$ 所以 ${{y}^{4}}-100{{y}^{2}}+64\cdot 36\text{=}4{{y}^{2}}-200$，整理得到 ${{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}-104{{y}^{2}}+2504\text{=}0$ 解得 $y_{\max }^{2}\text{=}52+10\sqrt{2}\to {{x}_{\max}}\text{=}11+\sqrt{52+\sqrt{200}}$，则所求值为 $11+52+200\text{=}263$
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