设 $f\left( x \right)\text{=}{{\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)}^{\cos \left( \pi x \right)}}$，正整数 $n$ 满足 $\displaystyle \left| \sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\lg f\left( k \right)} \right|\text{=}1$ 。求所有满足条件的正整数 $n$ 的和
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
021
【解析】
${{\log}_{10}}f\left( 1 \right)+{{\log }_{10}}f\left( 2 \right)+\cdots +{{\log}_{10}}f\left( n \right)\text{=}{{\log }_{10}}\left[ f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2 \right)\cdot \cdots \cdot f\left( n \right) \right]\text{=}\pm 1$，我们分两类情况考虑。注意到 $\cos\pi x\text{=}\left\{ \begin{matrix}
-1\text{,}x\text{=}2m+1 \\
1\text{,}x\text{=}2m \\
\end{matrix}\right.\text{,}m\in \mathbb{Z}$，所以 $f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2\right)\cdot \cdots \text{=}\frac{1}{\left( 2\cdot 3 \right)}\cdot \left( 3\cdot4 \right)\cdot \frac{1}{\left( 4\cdot 5 \right)}\cdot \cdots $
$n\text{=}2m$，$f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2 \right)\cdot \cdots \text{=}\frac{1}{2\left(n+2 \right)}$，易得出 $n\text{=}3$
$n\text{=}2m+1$，$f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2 \right)\cdot \cdots \text{=}\frac{n+2}{2}$，易得出 $n\text{=}18$
所以所有可能的 $n$ 之和为 $021$
-1\text{,}x\text{=}2m+1 \\
1\text{,}x\text{=}2m \\
\end{matrix}\right.\text{,}m\in \mathbb{Z}$，所以 $f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2\right)\cdot \cdots \text{=}\frac{1}{\left( 2\cdot 3 \right)}\cdot \left( 3\cdot4 \right)\cdot \frac{1}{\left( 4\cdot 5 \right)}\cdot \cdots $
$n\text{=}2m$，$f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2 \right)\cdot \cdots \text{=}\frac{1}{2\left(n+2 \right)}$，易得出 $n\text{=}3$
$n\text{=}2m+1$，$f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2 \right)\cdot \cdots \text{=}\frac{n+2}{2}$，易得出 $n\text{=}18$
所以所有可能的 $n$ 之和为 $021$
答案
解析
备注
