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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20870 5c6fa0b9210b28428f14c924 高中 解答题 自招竞赛 由不同的正整数组成的集合 $S$ 满足以下性质：对于 $S$ 中任意整数 $x$，$S$ 去掉 $x$ 后剩下元素的平均数为整数．若 $1\in S$，2002是 $S$ 中最大元素，那么 $S$ 中最多有多少个元素？ 2022-04-17 20:47:03
20866 5c6fb642210b28428f14c948 高中 解答题 自招竞赛 给定 ${{\log }_{6}}a+{{\log }_{6}}b+{{\log }_{6}}c=6$，其中 $a$，$b$，$c$ 为正整数，且能组成递增的等比数列，$b-a$ 能表示为一个整数的平方，试求 $a+b+c$ 的值． 2022-04-17 20:44:03
20864 5c6fb64f210b28428f14c954 高中 解答题 自招竞赛 设 $a={{2}^{n}}{{3}^{n}}$，$m$，$n$ 为非负整数，则使得 ${{a}^{6}}$ 不是 ${{6}^{a}}$ 的因数的所有正整数 $a$ 的和是多少？ 2022-04-17 20:43:03
20862 5c6fb663210b28428f14c964 高中 解答题 自招竞赛 试求最小正整数 $k$，使得关于 $n$ 的方程 $\left[ \frac{2002}{n} \right]=k$ 无整数解．（符号 $\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数．） 2022-04-17 20:42:03
20860 5c6fb670210b28428f14c96f 高中 解答题 自招竞赛 一位教授心不在焉地计算某个角的正弦值，他没有注意到，计算器在使用前并没有设定正确的角度制，但他还是幸运地得到正确解．已知使得 $x$ 度的正弦值等于 $x$ 弧度的正弦值的正实数 $x$ 的两个最小值分别为 $\frac{m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{n-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，$\frac{p\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{q+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$，其中 $m$，$n$，$p$，$q$ 均为正整数．试求 $m+n+p+q$ 的值． 2022-04-17 20:40:03
20853 5c749cae210b28428f14cabf 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\left\{ 8 ,5 ,1 ,13 ,34 ,3, 21, 2 \right\}$，对每个 $S$ 的二元子集，苏珊将子集中最大的数写在纸上，求纸上所有数之和． 2022-04-17 20:38:03
20852 5c749cc3210b28428f14cac4 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${{\log }_{10}}\sin x+{{\log }_{10}}\cos x=-1$，${{\log }_{10}}\left( \sin x+\cos x \right)=\frac{\left( {{\log }_{10}}n-1 \right)}{2}$，求 $n$． 2022-04-17 20:37:03
20851 5c749ccc210b28428f14cac9 高中 解答题 自招竞赛 考虑 $3\times 4\times 5$ 长方体的内点和与其距离不超过在1的点组成的集合，此集合的体积为 $\frac{m+n\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{p}$，$m$，$n$ $p\in {{\mathbf{Z}}^{+}}$，$\left( n p \right)=1$，求 $m+n+p$． 2022-04-17 20:37:03
20845 5c749dd5210b28428f14caec 高中 解答题 自招竞赛 在区间 $\left[ 0{}^\circ ,90{}^\circ \right]$ 中任取角度 $x$，设 $P$ 为 ${{\sin }^{2}}x$，${{\cos }^{2}}x$，$\sin x\cdot \cos x$ 不能作为一个三角形的三边长的概率．设 $P=\frac{d}{n}$，其中 $d=\arctan m$，$m n\in {{\mathbf{Z}}^{+}}$，$m+n<100$，求 $m+n$． 2022-04-17 20:33:03
20813 5c74d617210b284290fc237d 高中 解答题 自招竞赛 三只聪明的猴子分一堆香蕉，第一只猴子从这堆香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{3}{4}$，并将所取出香蕉中剩下的平分给另外两只猴子。第二只猴子从剩余的香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{1}{4}$，并将所取出的香蕉中剩下的平分给另外两只猴子。第三只猴子从剩余的香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{1}{12}$，并将所取出香蕉剩下的平分给另外两只猴子。这三只猴子在完成这三次分香蕉的过程后，它们各得香蕉的总数比为 $3:2:1$ 。试问：这堆香蕉的总数至少是多少？ 2022-04-17 20:14:03
20785 5c74ea76210b284290fc23e1 高中 解答题 自招竞赛 存在多少个小于或等于1000的正整数，使得对于任意实数 $t$ 都有
${{\left( \sin t+i\cos t \right)}^{n}}=\sin nt+i\cos nt$ 。		 2022-04-17 20:00:03
20782 5c74ea93210b28428f14cc50 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $ABCD$ 的中心为0，$AB=900$，点 $E$，$F$ 上，且 $AE<BF$，点 $E$ 在点 $A$，$F$ 之间，$\angle BOF={{45}^{\circ }}$，$EF=400$，设 $BF=p+q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$，$r$ 是正整数，$r$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $p+q+r$ 。 2022-04-17 20:58:02
20771 5c74fea7210b284290fc243a 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{a}_{1}}, {{a}_{2}} ,\ldots $ 是等比数列，其中 ${{a}_{1}}=a$，公比为 $r$，$\left( a ,r是正整数 \right)$，已知 ${{\log }_{8}}{{a}_{1}}+{{\log }_{8}}{{a}_{2}}+\ldots +{{\log }_{8}}{{a}_{12}}=2006$，试求有序数对 $\left( a ,r \right)$ 的数目。 2022-04-17 20:52:02
20770 5c74feaf210b284290fc2440 高中 解答题 自招竞赛 如图24-3所示，坐标平面第一象限内放置了8个直径为1的圆，定义 $R$ 为该8个圆组成的区域。斜率为3的直线 $l$ 将 $R$ 分成两相等的部分，其表达式为 $ax=by+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数且最大公约数为1。求 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ 。 2022-04-17 20:51:02
20768 5c74fec5210b284290fc244a 高中 解答题 自招竞赛 试求关于 $x$ 的方程 ${{\cos }^{3}}3x+{{\cos }^{3}}5x=8{{\cos }^{3}}4x{{\cos }^{3}}x$ 在 ${{100}^{\circ }}<x<{{200}^{\circ }}$ 上的所有根之和（单位：度）。 2022-04-17 20:50:02
20766 5c74fed4210b28428f14cc8a 高中 解答题 自招竞赛 三脚架每根支架5英尺长，当三脚架架起的时候，任三根支架所成的角相等，三脚架的顶端距地面4英尺，在一次架设的过程中，其中一根支架短了1英尺。令 $h$ 为损坏的三脚架架起时到地面的距离，已知 $h$ 可写成 $\frac{m}{\sqrt{n}}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任意素数的平方整除。试求 $\left\lfloor m+\sqrt{n} \right\rfloor $ 的值。（记 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 为小于或等于 $x$ 的最大整数） 2022-04-17 20:48:02
20763 5c75f0ac210b28428f14ccba 高中 解答题 自招竞赛 已知面积为正的某三角形的三边长分别 ${{\log }_{10}}12$，${{\log }_{10}}75$，${{\log }_{10}}n$，其中 $n$ 为正整数。试求 $n$ 有多少个可能的值？ 2022-04-17 20:47:02
20756 5c75f0fa210b28428f14ccd5 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{1}} {{C}_{2}} {{C}_{3}}$ 的圆心分别为 $\left( 0 ,0 \right) \left( 12 ,0 \right) \left( 24, 0 \right)$，它们的半径分别为 $1 ,2, 4$ 。直线 ${{t}_{1}}$ 是圆 ${{C}_{1}}$ 和 ${{C}_{2}}$ 的斜率为正的内公切线，直线 ${{t}_{2}}$ 是圆 ${{C}_{2}}$ 和 ${{C}_{3}}$ 的斜率为负的内公切线，设直线 ${{t}_{1}}$ 和 ${{t}_{2}}$ 交于点 $\left( x,y \right)$，且 $x=q-p\sqrt{r}$，其中 $p ,q ,r$ 为正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:43:02
20748 5c75f99d210b284290fc24a6 高中 解答题 自招竞赛 一条100英尺长的自动扶梯以每秒6英尺的恒定速度移动，$\text{A1}$ 移动到扶梯的起点并站立在扶梯上不动，$\text{Bob}$ 在两秒后到达扶梯的起点，并在扶梯上以每秒 $4$ 英尺的速度向扶梯的前进方向匀速前进，再过两秒钟后，$\text{Cy}$ 到达扶梯的起点，并在扶梯旁边以每秒 $8$ 英尺的速度向扶梯的前进方向匀速前进。在某一时刻，这三人中有一人恰在其他两人所处位置的中点上，求这时中间的那个人离扶梯起点处的距离。 2022-04-17 20:40:02
20744 5c75f9c4210b28428f14cd14 高中 解答题 自招竞赛 令
$\displaystyle N=\sum\limits_{k=1}^{1000}{{}}k\left( \left\lceil {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor \right)$
求 $N$ 被1000除的余数。（这里 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 表示不大于 $x$ 的最大整数，而 $\left\lceil x \right\rceil $ 表示不小于 $x$ 的最小整数。）		 2022-04-17 20:37:02
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