存在多少个小于或等于1000的正整数，使得对于任意实数 $t$ 都有
${{\left( \sin t+i\cos t \right)}^{n}}=\sin nt+i\cos nt$ 。
${{\left( \sin t+i\cos t \right)}^{n}}=\sin nt+i\cos nt$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
250
【解析】
因为 $\sin t=\cos \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-t \right)$，$cpst=\sin\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-t \right)$，故
${{\left( \sin t+i\cos t \right)}^{n}}={{\left[ \cos\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-t \right)+i\sin \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-t \right) \right]}^{n}}=\cos \left(\frac{n\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)+i\sin \left( \frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)$ 。
而 $\sin nt+i\cos nt=\cos \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)+i\sin \left( \frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)$，这两个复数若要相等，必须有 $\cos \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)=\cos \left( \frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)$，$\sin \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)=\sin \left( \frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)$ 。故 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt$ 与 $\frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt$
两个角的正弦和余弦都相等，因此它们相差 $2\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$ 的整数倍，即 $\frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt=2k\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt$，从中解得 $n=4k+1$，其中 $k$ 为任意整数。
因为 $1\leqslant n\leqslant 1000$，所以 $0\leqslant k\leqslant 249$，因此符合题意的 $n$ 的个数为250个
${{\left( \sin t+i\cos t \right)}^{n}}={{\left[ \cos\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-t \right)+i\sin \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-t \right) \right]}^{n}}=\cos \left(\frac{n\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)+i\sin \left( \frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)$ 。
而 $\sin nt+i\cos nt=\cos \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)+i\sin \left( \frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)$，这两个复数若要相等，必须有 $\cos \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)=\cos \left( \frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)$，$\sin \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)=\sin \left( \frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt \right)$ 。故 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt$ 与 $\frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt$
两个角的正弦和余弦都相等，因此它们相差 $2\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$ 的整数倍，即 $\frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt=2k\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{n\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-nt$，从中解得 $n=4k+1$，其中 $k$ 为任意整数。
因为 $1\leqslant n\leqslant 1000$，所以 $0\leqslant k\leqslant 249$，因此符合题意的 $n$ 的个数为250个
答案
解析
备注
