在区间 $\left[ 0{}^\circ ,90{}^\circ \right]$ 中任取角度 $x$，设 $P$ 为 ${{\sin }^{2}}x$，${{\cos }^{2}}x$，$\sin x\cdot \cos x$ 不能作为一个三角形的三边长的概率．设 $P=\frac{d}{n}$，其中 $d=\arctan m$，$m n\in {{\mathbf{Z}}^{+}}$，$m+n<100$，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
92
【解析】
由于 $\cos \left( 90{}^\circ -x\right)=\sin x$，$\sin\left( 90{}^\circ -x \right)=\cos x$，故只需考虑 $0{}^\circ <x\le45{}^\circ $ 的范围内的 $x$ 值，此时 ${{\cos }^{2}}x\geqslant \sin x\cos x\geqslant {{\sin }^{2}}x$，故这三个数不能作为一个三角形的三边长，当且仅当 ${{\cos }^{2}}x\leqslant \sin x\cos x+{{\sin }^{2}}x$，即 $\cos2x\geqslant \frac{1}{2}\sin 2x$，或者 $\tan x\leqslant 2$．
由于 $\tan x$ 在 $0{}^\circ \leqslant x\le45{}^\circ $ 是单调递增的，该不等式等价于 $x\leqslant \frac{\arctan 2}{2}$，这就得出 $p=\frac{\frac{\arctan2}{2}}{45{}^\circ }=\frac{\arctan 2}{90{}^\circ }$ 故 $m+n=92$．
由于 $\tan x$ 在 $0{}^\circ \leqslant x\le45{}^\circ $ 是单调递增的，该不等式等价于 $x\leqslant \frac{\arctan 2}{2}$，这就得出 $p=\frac{\frac{\arctan2}{2}}{45{}^\circ }=\frac{\arctan 2}{90{}^\circ }$ 故 $m+n=92$．
答案
解析
备注
