考虑 $3\times 4\times 5$ 长方体的内点和与其距离不超过在1的点组成的集合，此集合的体积为 $\frac{m+n\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{p}$，$m$，$n$ $p\in {{\mathbf{Z}}^{+}}$，$\left( n p \right)=1$，求 $m+n+p$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
505
【解析】
首先考虑原长方体上凸出的6个长方体．在这6个长方体中，有两个体积数 $1\times 3\times 4$，有两个是 $1\times 3\times 5$，有两个是 $1\times 4\times 5$，这些体积之和为 $2\left( 1\times 3\times4+1\times 3\times 5+1\times 4\times 5 \right)=94$．下一步考虑在原长方体侧棱上的半径为1的 $\frac{1}{4}$ 圆柱，它们的高分别是原长方体的边长，故它们的体积之和为 $4\cdot \frac{1}{4}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot {{1}^{2}}\left( 3+4+5 \right)=12\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$，最后考虑原长方体的8个顶点为球心，1为半径的 $\frac{1}{8}$ 球面，它们的体积之和为 $8\cdot \frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot {{1}^{3}}=\frac{4}{3}\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$．由于原长方体的体积为 $3\cdot 4\cdot 5=60$，故所求体积为 $60+94+12\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{4}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\frac{462+40\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，所以 $m+n+p=426+40+3=505$．
答案
解析
备注
