已知 ${{\log }_{10}}\sin x+{{\log }_{10}}\cos x=-1$，${{\log }_{10}}\left( \sin x+\cos x \right)=\frac{\left( {{\log }_{10}}n-1 \right)}{2}$，求 $n$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
12
【解析】
依题意，$\lg \left( \sin x\cdot \cos x \right)=-1$，故 $\sin x\cdot \cos x=\frac{1}{10}$．因此
${{\left(\sin x+\cos x \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+2\sin x\cos x=1+\frac{2}{10}=\frac{12}{10}$，
即 $2\lg \left( \sin x+\cos x \right)=\lg\frac{12}{10}=\lg 12-1$．
故 $\frac{1}{2}\left( \lg n-1 \right)=\lg \left(\sin x+\cos x \right)=\frac{1}{2}\left( \lg 12-1 \right)$，因此 $n=12$．
${{\left(\sin x+\cos x \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+2\sin x\cos x=1+\frac{2}{10}=\frac{12}{10}$，
即 $2\lg \left( \sin x+\cos x \right)=\lg\frac{12}{10}=\lg 12-1$．
故 $\frac{1}{2}\left( \lg n-1 \right)=\lg \left(\sin x+\cos x \right)=\frac{1}{2}\left( \lg 12-1 \right)$，因此 $n=12$．
答案
解析
备注
