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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20966 5c6e5191210b287fc87f5902 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 的边长分别为 $10$ 和11，作一个等边三角形使该三角形的顶点都不在矩形 $ABCD$ 之外，这个等边三角形的最大面积可以用 $p\sqrt{q}-r$ 表示，其中 $p$，$q$，$r$ 为正整数，$q$ 不能被任意素数的平方整除．求 $p+q+r$． 2022-04-17 20:35:04
20963 5c6f5a0f210b280150527381 高中 解答题 自招竞赛 函数 ${{y}^{2}}+2xy+40\left| x \right|=400$ 的图像将坐标平面分成了若干个区域，那么由图像围成的区域的面积是多少？ 2022-04-17 20:33:04
20956 5c6f5a77210b280151d74979 高中 解答题 自招竞赛 正方体的三条棱的 $AB$，$BC$ 和 $CD$，$AD$ 是体对角线．点 $P$，$Q$，$R$ 分别在 $AB$，$BC$，$CD$ 上，$AP=5$，$PB=15$，$BQ=15$，$CR=10$．那么，平面 $PQR$ 向各方向延伸后与正方体的交线组成的多边形的面积是多少？ 2022-04-17 20:31:04
20946 5c6f62eb210b2801505273c7 高中 解答题 自招竞赛 第一象限坐标平面上的一个变换使得每个点 $\left( x ,y \right)$ 映射成为 $\left( \sqrt{x} ,\sqrt{y} \right)$．四边形 $ABCD$ 各顶点的坐标为 $A\left( 900, 300 \right)$，$B\left( 1800, 600 \right)$，$C\left( 600, 1800 \right)$，$D\left( 300 ,900 \right)$．用 $k$ 表示四边形 $ABCD$ 的映象所围成的图形的面积．求不超过 $k$ 的最大整数． 2022-04-17 20:27:04
20941 5c6f6335210b280151d749d7 高中 解答题 自招竞赛 40个队参加比赛，每个队与任何一个队只比一次，没有出现平局．每个队均有 $50%$ 的概率战胜对手，没有两个队赢相同场数的概率为 $\frac{m}{n}$，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 ${{\log }_{2}}n$． 2022-04-17 20:25:04
20938 5c6f8abc210b280151d74a05 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $u$，$v$ 满足 $0<v<u$，且 $A$ 为 $\left( u, v \right)$，令 $B$ 与 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称，$C$ 与 $B$ 关于 $y$ 轴对称，$D$ 与 $C$ 关于 $x$ 轴对称，$E$ 与 $D$ 关于 $y$ 轴对称．且五边形 $ABCDE$ 的面积为451，求 $u+v$． 2022-04-17 20:23:04
20934 5c6f8adb210b280150527411 高中 解答题 自招竞赛 若三个正数 $x$，$y$，$z$ 满足方程组 $xyz=1$，$x+\frac{1}{z}=5$，及 $y+\frac{1}{x}=29$，则有 $z+\frac{1}{y}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:21:04
20932 5c6f8af0210b280150527416 高中 解答题 自招竞赛 方程组 $\left\{ \begin{align}
& {{\log }_{10}}\left( 2000xy \right)-\left( {{\log }_{10}}x \right)\left( {{\log }_{10}}y \right)=4 \\
& {{\log }_{10}}\left( 2yz \right)-\left( {{\log }_{10}}y \right)\left( {{\log }_{10}}z \right)=1 \\
& {{\log }_{10}}\left( zx \right)-\left( {{\log }_{10}}z \right)\left( {{\log }_{10}}x \right)=0. \\
\end{align} \right.$ 有两组解 $\left( {{x}_{1}} {{y}_{1}} {{z}_{1}} \right)$ 及 $\left( {{x}_{2}} {{y}_{2}} {{z}_{2}} \right)$，求 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}$．		 2022-04-17 20:20:04
20928 5c6f8b16210b280151d74a2a 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f\left( x \right)=f\left( 398-x \right)=f\left( 2158-x \right)=f\left( 3214-x \right)$ 对于所有实数 $x$ 均成立，函数值列 $f\left( 0 \right)$，$f\left( 1 \right)$，$f\left( 2 \right)$，…，$f\left( 999 \right)$ 中最多有多少个不同的值？ 2022-04-17 20:17:04
20924 5c78e90e210b28428f14cf73 高中 解答题 自招竞赛 数 $\frac{2}{{{\log }_{4}}{{2000}^{6}}}+\frac{3}{{{\log }_{5}}{{2000}^{6}}}$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:15:04
20923 5c78e913210b28428f14cf78 高中 解答题 自招竞赛 平面直角坐标系中，两个坐标的值都是整数的点叫做整点．在双曲线 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{2000}^{2}}$ 上有多少个整点？ 2022-04-17 20:14:04
20914 5c78e942210b28428f14cf91 高中 解答题 自招竞赛 等腰梯形 $ABCD$ 的每个顶点的横纵坐标均为整数，点 $A$ 的坐标为 $\left( 20 ,100 \right)$，点 $D$ 的坐标为 $\left( 21 ,107 \right)$．这个梯形没有任何一条边平行于坐标轴，$AB$ 和 $CD$ 是两底．设边 $AB$ 的斜率的所有可能值之和的绝对值为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:09:04
20912 5c78e94f210b28428f14cf9c 高中 解答题 自招竞赛 方程 $2000{{x}^{6}}+10{{x}^{5}}+10{{x}^{3}}+x-2=0$ 恰有两个根，其中一个是 $\frac{m+\sqrt{n}}{r}$，这里 $m$，$n$，$r$ 是整数，$m$ 与 $r$ 互素，$r>0$．求 $m+n+r$． 2022-04-17 20:09:04
20909 5c6f962e210b28015052745c 高中 解答题 自招竞赛 由一些不同实数组成的有限集 $S$ 满足如下性质：$S\bigcup \left\{ 1 \right\}$ 中所有元素的平均数比 $S$ 中所有元素的平均数小13，$S\bigcup \left\{ 2001 \right\}$ 中所有元素的平均数比 $S$ 中所有元素的平均数大27，求 $S$ 中所有元素的平均数． 2022-04-17 20:07:04
20902 5c6f968c210b280150527473 高中 解答题 自招竞赛 将 $5\times N$ 点阵中的所有点从左到右、从上到下依次编号（如第一行的序号是从1到 $N$，第二行的序号是从 $N+1$ 到 $2N$，等等）．从第 $i$ 行中任意抽取一点 ${{P}_{i}}$，这样我们选择了5个点 ${{P}_{1}}$，${{P}_{2}}$，${{P}_{3}}$，${{P}_{4}}$ 和 ${{P}_{5}}$．设 ${{P}_{i}}$ 对应数 ${{x}_{i}}$．现在从第一列开始重新对点进行从左到右的编号，这时设 ${{P}_{i}}$ 对应数是 ${{y}_{i}}$．我们发现恰有 ${{x}_{1}}={{y}_{2}}$，${{x}_{2}}={{y}_{1}}$，${{x}_{3}}={{y}_{4}}$，${{x}_{4}}={{y}_{5}}$，${{x}_{5}}={{y}_{3}}$．求 $N$ 的最小可能值． 2022-04-17 20:04:04
20896 5c78f20a210b284290fc2680 高中 解答题 自招竞赛 给定 ${{x}_{1}}=211$，${{x}_{2}}=375$，${{x}_{3}}=420$，${{x}_{4}}=523$，且当 $n\geqslant 5$ 时，${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}-{{x}_{n-2}}+{{x}_{n-3}}-{{x}_{n-4}}$．
求 ${{x}_{531}}+{{x}_{753}}+{{x}_{975}}$ 的值．		 2022-04-17 20:02:04
20894 5c78f21b210b28428f14cfc6 高中 解答题 自招竞赛 若一组正数组成的集合中，存在三个不同的数可以作为一个非退化三角形的三边长，则称此集合具有三角形性质．若连续正整数集合 $\left\{ 4 ,5 ,6 ,\cdots ,n \right\}$ 的所有10元子集都具有三角形的性质，则 $n$ 的最大可能值是多少？ 2022-04-17 20:01:04
20891 5c78f235210b284290fc268d 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f$ 具有如下性质：$f\left( 3x \right)=3f\left( x \right)$，对于所有正实数 $x$ 均成立，且 $f\left( x \right)=1-\left| x-2 \right|\left( 1\leqslant x\leqslant 3 \right)$．求满足 $f\left( x \right)=f\left( 2001 \right)$ 的正实数 $x$ 的最小值． 2022-04-17 20:00:04
20878 5c6fa077210b28428f14c8ff 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left( {{x}_{1}} {{y}_{1}} \right)$，$\left( {{x}_{2}} {{y}_{2}} \right)$ 是方程组 $\left\{ \begin{align}
& {{\log }_{225}}x+{{\log }_{64}}y=4 \\
& {{\log }_{x}}225+{{\log }_{y}}64=1. \\
\end{align} \right.$ 的解．求 ${{\log }_{30}}\left( {{x}_{1}}{{y}_{1}}{{x}_{2}}{{y}_{2}} \right)$ 的值．		 2022-04-17 20:52:03
20872 5c6fa0a9210b28428f14c919 高中 解答题 自招竞赛 对于所有满足 $z\ne \text{i}$ 的复数 $z$ 都有 $F\left( z \right)=\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}$．对于所有正整数 $n$ 有 ${{z}_{n}}=F\left( {{z}_{n-1}} \right)$．若 ${{z}_{0}}=\frac{1}{137}+\text{i}$，${{z}_{2002}}=a+b\text{i}$，其中 $a$，$b$ 为实数．求 $a+b$ 的值． 2022-04-17 20:48:03
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