给定 ${{x}_{1}}=211$，${{x}_{2}}=375$，${{x}_{3}}=420$，${{x}_{4}}=523$，且当 $n\geqslant 5$ 时，${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}-{{x}_{n-2}}+{{x}_{n-3}}-{{x}_{n-4}}$．
求 ${{x}_{531}}+{{x}_{753}}+{{x}_{975}}$ 的值．
求 ${{x}_{531}}+{{x}_{753}}+{{x}_{975}}$ 的值．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
898
【解析】
当 $n>5$ 时，
${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}-{{x}_{n-2}}+{{x}_{n-3}}-{{x}_{n-4}}$
$=\left({{x}_{n-2}}-{{x}_{n-3}}+{{x}_{n-4}}-{{x}_{n-5}}\right)-{{x}_{n-2}}+{{x}_{n-3}}-{{x}_{n-4}}$
$={{x}_{n-5}}$
这说明此数列以10为周期，故
${{x}_{531}}+{{x}_{753}}+{{x}_{975}}={{x}_{1}}+{{x}_{3}}+{{x}_{5}}={{x}_{1}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}-{{x}_{3}}+{{x}_{2}}-{{x}_{1}}$
$={{x}_{4}}+{{x}_{2}}=523+375=898$．
${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}-{{x}_{n-2}}+{{x}_{n-3}}-{{x}_{n-4}}$
$=\left({{x}_{n-2}}-{{x}_{n-3}}+{{x}_{n-4}}-{{x}_{n-5}}\right)-{{x}_{n-2}}+{{x}_{n-3}}-{{x}_{n-4}}$
$={{x}_{n-5}}$
这说明此数列以10为周期，故
${{x}_{531}}+{{x}_{753}}+{{x}_{975}}={{x}_{1}}+{{x}_{3}}+{{x}_{5}}={{x}_{1}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}-{{x}_{3}}+{{x}_{2}}-{{x}_{1}}$
$={{x}_{4}}+{{x}_{2}}=523+375=898$．
答案
解析
备注
