方程组 $\left\{ \begin{align}
& {{\log }_{10}}\left( 2000xy \right)-\left( {{\log }_{10}}x \right)\left( {{\log }_{10}}y \right)=4 \\
& {{\log }_{10}}\left( 2yz \right)-\left( {{\log }_{10}}y \right)\left( {{\log }_{10}}z \right)=1 \\
& {{\log }_{10}}\left( zx \right)-\left( {{\log }_{10}}z \right)\left( {{\log }_{10}}x \right)=0. \\
\end{align} \right.$ 有两组解 $\left( {{x}_{1}} {{y}_{1}} {{z}_{1}} \right)$ 及 $\left( {{x}_{2}} {{y}_{2}} {{z}_{2}} \right)$，求 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}$．
& {{\log }_{10}}\left( 2000xy \right)-\left( {{\log }_{10}}x \right)\left( {{\log }_{10}}y \right)=4 \\
& {{\log }_{10}}\left( 2yz \right)-\left( {{\log }_{10}}y \right)\left( {{\log }_{10}}z \right)=1 \\
& {{\log }_{10}}\left( zx \right)-\left( {{\log }_{10}}z \right)\left( {{\log }_{10}}x \right)=0. \\
\end{align} \right.$ 有两组解 $\left( {{x}_{1}} {{y}_{1}} {{z}_{1}} \right)$ 及 $\left( {{x}_{2}} {{y}_{2}} {{z}_{2}} \right)$，求 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
25
【解析】
令 $u={{\log }_{10}}x$，$v={{\log }_{10}}y$，$w={{\log }_{10}}z$，则所给方程组可改写为 $\left\{ \begin{align}
& uv-u-v+1={{\log }_{10}}2 \\
& uw-v-w+1={{\log }_{10}}2 \\
& wu-w-u+1=1 \\
\end{align} \right.$
即 $\left\{\begin{align}
& \left( u-1 \right)\left( v-1\right)={{\log }_{10}}2 \\
& \left( v-1 \right)\left( w-1\right)={{\log }_{10}}2 \\
& \left( w-1 \right)\left( u-1 \right)=1.\\
\end{align}\right.$
由前两个方程可得出 $u=w$，第三个方程可推出 $u=w=2$ 或 $u=w=0$．
第一种情况，$v={{\log}_{10}}20$，故 ${{x}_{1}}=100$，${{y}_{1}}=20$．及 ${{z}_{1}}=100$．
第二种情况，$v={{\log}_{10}}5$，故 ${{x}_{2}}=1$，${{y}_{2}}=5$，及 ${{z}_{2}}=1$，故 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=25$．
& uv-u-v+1={{\log }_{10}}2 \\
& uw-v-w+1={{\log }_{10}}2 \\
& wu-w-u+1=1 \\
\end{align} \right.$
即 $\left\{\begin{align}
& \left( u-1 \right)\left( v-1\right)={{\log }_{10}}2 \\
& \left( v-1 \right)\left( w-1\right)={{\log }_{10}}2 \\
& \left( w-1 \right)\left( u-1 \right)=1.\\
\end{align}\right.$
由前两个方程可得出 $u=w$，第三个方程可推出 $u=w=2$ 或 $u=w=0$．
第一种情况，$v={{\log}_{10}}20$，故 ${{x}_{1}}=100$，${{y}_{1}}=20$．及 ${{z}_{1}}=100$．
第二种情况，$v={{\log}_{10}}5$，故 ${{x}_{2}}=1$，${{y}_{2}}=5$，及 ${{z}_{2}}=1$，故 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=25$．
答案
解析
备注
