若一组正数组成的集合中，存在三个不同的数可以作为一个非退化三角形的三边长，则称此集合具有三角形性质．若连续正整数集合 $\left\{ 4 ,5 ,6 ,\cdots ,n \right\}$ 的所有10元子集都具有三角形的性质，则 $n$ 的最大可能值是多少？
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
253
【解析】
集合 $\left\{ 4 ,5, 9, 14, 23, 37, 60, 97 , 157 ,254 \right\}$ 是 $\left\{ 4 5 6 \cdots 254 \right\}$ 的一个10元子集，且其中任意三个不能成为非退化三角形的三边长，故 $n<254$．下证 $\left\{ 4 ,5, 6 ,\cdots ,253 \right\}$ 的任意10元子集都满足三角形条件．若不然，设 $\left\{{{a}_{1}} ,{{a}_{2}} ,{{a}_{3}} ,\cdots ,{{a}_{10}} \right\}$ 是 $\left\{ 4,5, 6, \cdots ,253 \right\}$ 的不满足三角形条件的10元子集，且 ${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<\cdots<{{a}_{10}}$．由于任意三个元素不构成三角形三边，故
$253\geqslant{{a}_{10}}$ $\geqslant {{a}_{9}}+{{a}_{8}}$ $\geqslant \left( {{a}_{8}}+{{a}_{7}}\right)+{{a}_{8}}=2{{a}_{8}}+{{a}_{7}}$
$\geqslant 2\left( {{a}_{7}}+{{a}_{6}}\right)+{{a}_{7}}=3{{a}_{7}}+2{{a}_{6}}$
$\geqslant 3\left( {{a}_{6}}+{{a}_{5}}\right)+2{{a}_{6}}=5{{a}_{6}}+3{{a}_{5}}$
$\geqslant 8{{a}_{5}}+5{{a}_{4}}$ $\geqslant 13{{a}_{4}}+8{{a}_{3}}$
$\geqslant 21{{a}_{3}}+13{{a}_{2}}$ $\ge34{{a}_{2}}+21{{a}_{1}}$
$\geqslant 34\cdot 5+21\cdot 4=254$．
矛盾，因此 $n$ 的最大可能值是 $253$．
$253\geqslant{{a}_{10}}$ $\geqslant {{a}_{9}}+{{a}_{8}}$ $\geqslant \left( {{a}_{8}}+{{a}_{7}}\right)+{{a}_{8}}=2{{a}_{8}}+{{a}_{7}}$
$\geqslant 2\left( {{a}_{7}}+{{a}_{6}}\right)+{{a}_{7}}=3{{a}_{7}}+2{{a}_{6}}$
$\geqslant 3\left( {{a}_{6}}+{{a}_{5}}\right)+2{{a}_{6}}=5{{a}_{6}}+3{{a}_{5}}$
$\geqslant 8{{a}_{5}}+5{{a}_{4}}$ $\geqslant 13{{a}_{4}}+8{{a}_{3}}$
$\geqslant 21{{a}_{3}}+13{{a}_{2}}$ $\ge34{{a}_{2}}+21{{a}_{1}}$
$\geqslant 34\cdot 5+21\cdot 4=254$．
矛盾，因此 $n$ 的最大可能值是 $253$．
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解析
备注
